Hoạt động 5 trang 30 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực - Cánh diều

Hoạt động 5 trang 30 Toán 11 Tập 2:

Xét số vô tỉ $\sqrt{2}=\mathrm{1,414213562...}$

Xét dãy số hữu tỉ r₁ = 1; r₂ = 1,4; r₃ = 1,41; r₄ = 1,414; r₅ = 1,4142; r₆ = 1,41421; ...và $\lim r_n=\sqrt{2}.$ Bằng cách tính  tương ứng, ta nhận được Bảng 1 ghi các dãy số (r_n) và $\left(3^{r_n}\right)$  với n = 1, 2, ..., 6. Người ta chứng minh được rằng khi n → +∞ thì dãy số $\left(3^{r_n}\right)$  dần đến một giới hạn mà ta gọi là  $3^{\sqrt{2}}.$

Nêu dự đoán về giá trị của số $3^{\sqrt{2}}$  (đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Từ Bảng 1 ta thấy:

⦁r₁ = 1 thì $3^{r_1}=3;$

⦁r₂ = 1,4 thì $3^{r_2}=\mathrm{4,655536722...}\approx \mathrm{4,66};$

...

⦁r₆ = 1,41421 thì $3^{r_6}=\mathrm{4,728785881...}\approx \mathrm{4,73};$

…

Dự đoán:   $3^{\sqrt{2}}\approx \mathrm{4,73.}$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 27 Toán 11 Tập 2: Ở các lớp dưới, ta đã làm quen với phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số thực và các tính chất của phép tính lũy thừa đó. ....

• Hoạt động 1 trang 27 Toán 11 Tập 2: a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa lũy thừa bậc n của a. ....

• Luyện tập 1 trang 28 Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của biểu thức: $M={\left(\frac{1}{3}\right)}^{12}\cdot {\left(\frac{1}{27}\right)}^{-5}+{\left(\mathrm{0,4}\right)}^{-4}\cdot {25}^{-2}\cdot {\left(\frac{1}{32}\right)}^{-1}.$ ....

• Hoạt động 2 trang 28 Toán 11 Tập 2: a) Với a là số thực không ân, nêu định nghĩa căn bậc hai của a. ....

• Luyện tập 2 trang 28 Toán 11 Tập 2: Các số 2 và –2 có phải là căn bậc 6 của 64 hay không? ....

• Hoạt động 3 trang 29 Toán 11 Tập 2: a) Với mỗi số thực a, so sánh: $\sqrt{a^2}$  và |a|; $\sqrt[3]{a^3}$  và a. ....

• Luyện tập 3 trang 29 Toán 11 Tập 2: Rút gọn mỗi biểu thức sau: a)  $\sqrt[3]{\frac{125}{64}}.\sqrt[4]{81};$  b) $\frac{\sqrt[5]{98}.\sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}}.$ ....

• Hoạt động 4 trang 29 Toán 11 Tập 2: Thực hiện các hoạt động sau: a) So sánh   và 2²; b) So sánh   và  $\sqrt[3]{2^6}.$ ....

• Luyện tập 4 trang 30 Toán 11 Tập 2: Rút gọn mỗi biểu thức: $N=\frac{x^{\frac{4}{3}}y+x{y}^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}\left(x>\mathrm{0,}y>0\right).$ ....

• Luyện tập 5 trang 31 Toán 11 Tập 2: So sánh ${10}^{\sqrt{2}}$ và 10. ....

• Hoạt động 6 trang 31 Toán 11 Tập 2: Nêu những tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương. ....

• Luyện tập 6 trang 32 Toán 11 Tập 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số $2^{2\sqrt{3}}$ và $2^{3\sqrt{2}}.$ ....

• Luyện tập 7 trang 32 Toán 11 Tập 2: Dùng máy tính cầm tay để tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm): a)  ${\left(-\mathrm{2,7}\right)}^{-4};$ b) ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^{\sqrt[3]{4}+1}.$ ....

• Bài 1 trang 33 Toán 11 Tập 2: Tính: a) ${\left(\frac{1}{256}\right)}^{-\mathrm{0,75}}+{\left(\frac{1}{27}\right)}^{-\frac{4}{3}};$ b) ${\left(\frac{1}{49}\right)}^{-\mathrm{1,5}}-{\left(\frac{1}{125}\right)}^{-\frac{2}{3}};$ c) $\left(4^{3+\sqrt{3}}-4^{\sqrt{3}-1}\right)\cdot 2^{-2\sqrt{3}}.$ ....

• Bài 2 trang 33 Toán 11 Tập 2: Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: ....

• Bài 3 trang 33 Toán 11 Tập 2: Rút gọn mỗi biểu thức sau: a) $\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}\left(a>0;a\ne 1\right);$ b) $\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}{b}^6}}\left(a>\mathrm{0,}b>0\right).$ ....

• Bài 4 trang 33 Toán 11 Tập 2: Viết các số sau theo thứ tự tăng dần: a) $1^{\mathrm{1,5}};3^{-1};{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2};$ b) ${2022}^0;{\left(\frac{4}{5}\right)}^{-1};5^{\frac{1}{2}}.$ ....

• Bài 5 trang 33 Toán 11 Tập 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau: a) $6^{\sqrt{3}}$  và  36; b) ${\left(\mathrm{0,2}\right)}^{\sqrt{3}}$  và  ${\left(\mathrm{0,2}\right)}^{\sqrt{5}}.$ ....

• Bài 6 trang 33 Toán 11 Tập 2: Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian P (tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh ....