Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a căn 5/12 . Tính số đo góc nhị diện [S, BC, A].

Câu hỏi:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{\frac{5}{12}}$ . Tính số đo góc nhị diện [S, BC, A].

Trả lời:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a căn 5/12 . Tính số đo góc nhị diện [S, BC, A]. (ảnh 1)

Gọi G là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi AG cắt BC tại D mà ABC là tam giác đều nên AD ^ BC.

Mà SG ^ (ABC) nên SG ^ BC.

Vì AD ^ BC và SG ^ BC nên BC ^ (SAD), suy ra BC ^ SD.

Vì AD ^ BC và BC ^ SD nên $\hat{S D A}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, BC, A].

Vì ABC là tam giác đều cạnh a, AD là đường cao nên $A D = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra $D G = \frac{1}{3} A D = \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ .

Xét tam giác ABC có AD là trung tuyến nên D là trung điểm của BC, do đó $B D = D C = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2}$ .

Xét tam giác SBD vuông tại D có $S D = \sqrt{S B^{2} - B D^{2}} = \sqrt{\frac{5 a^{2}}{12} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a}{\sqrt{6}}$ .

Xét tam giác SGD vuông tại G có $c o s \hat{S D A} = c o s \hat{S D G} = \frac{G D}{S D} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{6}}{\frac{a}{\sqrt{6}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \hat{S D G} = 45 °$ .

Vậy số đo góc nhị diện [S, BC, A] là 45°.

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết:

Câu 1:

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a, b) và (a', b').

Xem lời giải »

Câu 2:

Góc giữa hai mặt phẳng bằng 0° khi nào, khác 0° khi nào?

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO ^ (ABCD). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông.

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thẳng a vuông góc với (P). (H.7.47).