Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

---

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Với Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

1. Định lí

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx. Viết gọn: ∫udv = uv - ∫vdu.

2. Cách đặt

Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫P(x).Q(x)dx

* Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”

Cho I = ∫f(x).g(x)dx trong đó f(x) là đa thức và g(x) là biểu thức lượng giác.

Ta đặt u = f(x) và v’ = g(x).

Sau đó áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫(1 - x)cosxdx

A. (1 + x)cosx - sinx + C.

B. (1 - x)sinx - cosx + C.

C. (1 - x)cosx + sinx + C.

D. (1 - x)cosx - cosx + C.

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 2(x - 2).sin²x

Lời giải

Ta có: 2(x - 2).sin²x = (x - 2).(1 - cos2x) vì (cos2x = 1- 2sin²x)

Chọn A.

Ví dụ 3. Tính I = ∫(2x - 2).sinx.cosxdx

Lời giải

Ta có: (2x - 2).sinx.cosx = (x - 1).2sinx.cosx = (x - 1).sin2x

⇒ I = ∫(2x - 2).sinx.cosxdx = ∫(x - 1)sin2xdx

Chọn D.

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

A. -x.cotx + ln|sinx| + C.

B. x.cotx + ln|sinx| + C.

C. x.cosx + ln|sinx| + C.

D. x.cotx - ln|sinx| + C.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 5. Tính ∫xsin2xdx.

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 6. Tính ∫cos√x dx.

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 7. Tính I = ∫(1 + sinx + sin²x + sin³x + ...)dx.

Lời giải

Ta có: 1 + sinx + sin²x + sin³x + ... là tổng của cấp số nhân với u_n = sinⁿx

Vì |sinx| ≤ 1 nên áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân có công bội q = sinx < 1 ta được:

Chọn D.

Ví dụ 8. Tính I = ∫(x² - 100)sinxdx

A. I = -(x² - 100).sinx + 2xsinx - 2cosx + C.

B. I = (x² - 100).cosx - 2xsinx + cosx + C.

C. I = -(x² - 100).cosx + 2xsinx + 2cosx + C.

D. Tất cả sai.

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 9. Tính I = ∫x.sinx.cos²xdx

Lời giải

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính nguyên hàm của hàm số: f(x) = (x + 1).sinx

A. F(x) = (x + 1)cosx + sinx + c.

B. F(x) = -(x + 1)cosx + sinx + c.

C. F(x) = -(x + 1)cosx - sinx + c.

D. F(x) = -(x + 1)cosx - sinx + c.

Lời giải:

Ta có:

Chọn B.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (x + 3).(sin²x - cos²x)

Lời giải:

Ta có: (x + 3).(sin²x – cos²x) = (x + 3).(-cos2x) vì (cos2x = cos²x - sin²x)

Chọn A.

Câu 3: Tính:

A. (x + 1).cosx + 2sin2x + C.

B. 2(x + 1).sinx + 2cosx + C.

C. (x + 1).cosx + 2cosx + C.

D. -(x + 1).cosx + 2sinx + C.

Lời giải:

Chọn D.

Câu 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

A. (2x + 1).tanx + 2.ln|cosx| + C.

B. (2x + 1).cotx + 2.ln|cosx| + C.

C. (2x + 1).sinx + 2.ln|sinx| + C.

D. Đáp án khác.

Lời giải:

Chọn A.

Câu 5: Tính

Lời giải:

Chọn A.

Câu 6: Gọi hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = xcos3x, biết F(0) = 1. Vậy F(x) là:

Lời giải:

Chọn D.

Câu 7: Nguyên hàm của hàm số bằng:

Lời giải:

Chọn B.

Câu 8: Tìm

Lời giải:

Chọn C.

Câu 9: Tính . Chọn kết quả đúng.

Lời giải:

Chọn A.