Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 10 chữ số đôi một khác nhau?

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên:

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Bài 15 trang 10 SBT Toán 10 Tập 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên:

a) Gồm 10 chữ số đôi một khác nhau?

b) Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?

Lời giải:

a) Xét số tự nhiên có dạng $\bar{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} a_{9} a_{10}}$ .

Trường hợp 1: a₁ có thể bằng 0 hoặc khác 0.

Với a₁ có thể bằng 0 hoặc khác 0, mỗi số có dạng trên là một hoán vị của 10 chữ số đã cho.

Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 1 là:

P₁₀ = 10! (số).

Trường hợp 2: a₁ = 0.

Vì a₁ = 0 cố định nên 9 chữ số sau a₁ đều khác 0 và chỉ có 9 chữ số đó thay đổi.

Suy ra, mỗi số có dạng $\bar{0 a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} a_{9} a_{10}}$ là một hoán vị của 9 chữ số khác 0 đã cho.

Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 2 là:

P₉ = 9! (số).

Vậy số các số tự nhiên có 10 chữ số đôi một khác nhau có thể lập được là:

10! – 9! = 3265920 (số).

b) Xét số tự nhiên có dạng $\bar{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}}$ .

Trường hợp 1: a₁ có thể bằng 0 hoặc khác 0.

Với a₁ có thể bằng 0 hoặc khác 0, mỗi số có dạng trên là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số đã cho.

Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 1 là: $A_{10}^{6}$ (số).

Trường hợp 2: a₁ = 0.

Vì a₁ = 0 cố định nên 5 chữ số sau a₁ đều khác 0 và chỉ có 5 chữ số đó thay đổi.

Suy ra, mỗi số có dạng $\bar{0 a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}}$ là một chỉnh hợp chập 5 của 9 chữ số khác 0 đã cho.

Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 2 là: $A_{9}^{5}$ (số).

Vậy số các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau có thể lập được là:

$A_{10}^{6}$ - $A_{9}^{5}$ = 136080 (số).