Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n: a) n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2 và 3

Giải sách bài tập Toán lớp 6 Bài ôn tập cuối chương 2

Bài 67 trang 88 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1 - Cánh diều: Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n:

a) n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2 và 3.

b) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) chia hết cho 3 và 8.

Lời giải:

a)

+) Nếu n chẵn thì n chia hết cho 2 nên n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2.

Nếu n lẻ thì n + 1 chia hết cho 2 nên n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2.

Suy ra n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2 với mọi số nguyên n.

+) Nếu n chia hết cho 3 thì n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3.

Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n có dạng n = 3k + 1. Khi đó n + 2 = 3k + 3 = 3(k+1) chia hết cho 3 nên n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3.

Nếu n chia cho 3 dư 2 thì n có dạng n = 3k + 2. Khi đó n + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) chia hết cho 3 nên n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3.

Suy ra n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.

Vậy n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2 và 3 với mọi số nguyên n.

b)

+) Nếu n chẵn thì n chia hết cho 2 thì n + 2 chia hết cho 4 nên n(n + 1)(n + 2)(n + 3) chia hết cho 8.

Nếu n lẻ thì n + 1 chia hết cho 2 thì n + 3 chia hết cho 4 nên n(n + 1)(n + 2)(n +3) chia hết cho 8.

Suy ra n(n + 1)(n + 2)(n +3) chia hết cho 8 với mọi số nguyên n.

+) Nếu n chia hết cho 3 thì n(n + 1)(n + 2)(n + 3) chia hết cho 3.

Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n có dạng n = 3k + 1. Khi đó n + 2 = 3k + 3 = 3(k+1) chia hết cho 3 nên n(n + 1)(n + 2)(n + 3) chia hết cho 3.

Nếu n chia cho 3 dư 2 thì n có dạng n = 3k + 2. Khi đó n + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) chia hết cho 3 nên n(n + 1)(n + 2)(n + 3) chia hết cho 3.

Suy ra n(n + 1)(n + 2)(n + 3) chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.

Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) chia hết cho 2 và 3 với mọi số nguyên n.