Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là

Câu hỏi ôn tập chương 3 (phần Hình học)

Bài 10 trang 120 Toán 11: Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác (ABC).

Trả lời

Lấy điểm M trong không gian sao cho MA = MB = MC. Từ M kẻ MO vuông góc với mặt phẳng (ABC). Các tam giác vuông MOA, MOB, MOC bằng nhau, cho ta OA = OB = OC.

Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy các điểm M cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nằm trên đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Ngược lại: Lấy điểm M’ ∈ d, nối M’A, M’B, M’C.

Do M’O chung và OA = OB = OC nên các tam giác M’OA, M’OB, M’OC bằng nhau, suy ra M’A = M’B = M’C, tức là điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.