Bài 14 trang 72 Toán 9 Tập 2

Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

Bài 14 trang 72 Toán 9 Tập 2:

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu điều kiện để mệnh đề đảo cũng đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Bài giải:

a) Gọi M là điểm chính giữa của cung AB thuộc (O), đường kính MON cắt dây AB tại I.

Chứng minh rằng: IA – IB

Ta có sđ cung MA = sđ cung MB ⇒ ∠O₁ = ∠O₂

∆AOB cân tại O (OA = OB = bán kính) có OI là đường phân giác cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh AB)

Do đó IA = IB

Đảo lại: nếu có IA = IB thì sđ cung MA = sđ cung MB

Thật vậy: khi IA = IB thì OI là trung tuyến của tam giác cân AOB nên OI cũng là phân giác của góc AOB.

⇒ ∠O₁ = ∠O₂ ⇒ sđ cung MA = sđ cung MB

Ta có thể phát biểu mệnh dề đảo như sau:

“ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì cũng đi qua điểm chính giữa của cung căng bởi dây ấy”.

Ghi chú:

    - Mệnh đề thuận và đảo chỉ xảy ra trong một đường tròn.

    - Nếu M là điểm chính giữa của cung lớn AB thì IA = IB và đảo lại.

b) AB dây cung; MN: đường kính của đường tròn (O; R) có sđ cung AM = sđ cung MB.

Chứng minh rằng: MN ⊥ AB

Ta có: sđ cung AM = sđ cung MB (gt) ⇒ ∠O₁ = ∠O₂

∆OAB cân tịa O (OA = OB = R) có OM là phân giác của góc O nên OM cũng là đường cao ứng với cạnh AB ⇒ OM ⊥ AB

Vậy MN ⊥ AB.

Ghi chú:

    Ta có thể áp dụng định lí đường kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy để suy ra đpcm.

    Từ kết quả trên của câu a) và b) ta có thể phát biểu thành mệnh đề sau đây:

    Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy tại trung điểm của dây.