Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE
Giải SBT Toán 8 Bài 6: Hình thoi - Cánh diều
Bài 28 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:
a) BN ⊥ CM;
b) Tứ giác MNHK là hình thoi.
Lời giải:
a) Do AD, CE là đường cao của ∆ABC nên AD ⊥ AC, CE ⊥ AB.
Do đó ∆ABD vuông tại D và ∆ACE vuông tại E nên
Suy ra .
Mà BN và CM lần lượt là tia phân giác của và , suy ra .
Do ∆CEM vuông tại E nên
Suy ra hay .
Trong tam giác MOB có:
Suy ra .
Vậy BN ⊥ CM.
b) Xét ∆BMO vuông tại O và ∆BHO vuông tại O có:
Cạnh BO chung,
Do đó ∆BMO = ∆BHO (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra OM = OH (hai cạnh tương ứng)
Hay O là trung điểm của MH.
Tương tự ta chứng minh được ∆CNO = ∆CKO (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra ON = OK (hai cạnh tương ứng)
Hay O là trung điểm của NK.
Tứ giác MNHK có hai đường chéo MH và NK cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên MNHK là hình bình hành.
Hình bình hành MNHK có MH ⊥ NK nên MNHK là hình thoi.
Lời giải SBT Toán 8 Bài 6: Hình thoi hay khác: