Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H


Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng mình rằng:

Giải sách bài tập Toán 8 Bài tập cuối chương 8 - Chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 75 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng mình rằng:

a) AD . BH = AC . BD.

b) HA . HD = HB . HE = HC . HF.

c) BC2 = BE . BH + CF . CH.

Lời giải:

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Ta có AHE^=ACD^ (cùng phụ với CAD^).

AHE^=BHD^ (đối đỉnh) nên ACD^=BHD^.

Xét ∆ADC vuông tại D và ∆BDH vuông tại D có ACD^=BHD^.

Do đó ∆ADC ᔕ ∆BDH (g.g).

Suy ra ADBD=ACBH. Do đó AD . BH = AC . BD (đpcm).

b) Xét ∆HEA vuông tại E và ∆HDB vuông tại D có AHE^=BHD^ (đối đỉnh).

Do đó ∆HEA ᔕ ∆HDB (g.g).

Suy ra HEHD=HAHB. Do đó HA . HD = HB . HE       (1)

Xét ∆HFA vuông tại F và ∆HDC vuông tại D có AHF^=CHD^ (đối đỉnh).

Do đó ∆HFA ᔕ ∆HDC (g.g).

Suy ra HFHD=HAHC. Do đó HA . HD = HC . HF       (2)

Từ (1) và (2) suy ra HA . HD = HB . HE = HC . HF (đpcm).

c) Xét ∆BEC vuông tại E và ∆BHD vuông tại D có EBC^ chung.

Do đó ∆BEC ᔕ ∆BHD (g.g).

Suy ra BCBH=BEBD. Do đó BC . BD = BE . BH         (3)

Xét ∆BCF vuông tại F và ∆HCD vuông tại D có FCB^ chung.

Do đó ∆BCF ᔕ ∆HCD (g.g)

Suy ra BCHC=CFDC. Do đó BC . DC = CF . HC. (4)

Từ (3) và (4), suy ra BC . DB + BC . DC = BE . BH + CF . HC.

Do đó BC2 = BE . BH + CF . CH (đpcm).

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 8 hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: