Giải Toán 11 trang 56 Tập 2 Chân trời sáng tạo


Với Giải Toán 11 trang 56 Tập 2 trong Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 56.

Giải Toán 11 trang 56 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết SA = a3 , SA ⊥AB và SA ⊥AD. Tính góc giữa SB và CD, SD và CB.

Lời giải:

Bài 1 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Vì CD // AB nên (SB, CD) = (SB, AB) = SBA^

Xét tam giác SBA có: SA ⊥AB nên ΔSAB vuông tại A.

tan SBA^=SAAB=a3a=3. Vậy SBA^=60° .

Mặt khác, CB // AD nên (SD, CB) = (SD, AD) = SDA^

Xét tam giác SDA có: SD⊥AD nên ΔSDA vuông tại D.

tan SDA^=SAAD=a3a=3.

Vậy SDA^=60°.

Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Lời giải:

Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.

Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AC.

N là trung điểm của BC.

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ MN // AB; MN = 12AB = a2 (1)

Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:

⇒ MP // CD; MP = 12CD = a2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MN = MP = a2

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = a32

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = a32

Xét tam giác BCP có: BP = CP = a32

⇒ Tam giác BCP cân tại P.

Mà N là trung điểm của BC ⇒ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN

PN = CP2CN2=a322a22=a22

Xét tam giác MNP:

MP2 + MN2 = a22+a22=2a24 ; PN2 = a222=2a24

⇒ MP2 + MN2 = PN2

⇒ Tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = NMP^=90°.

Vậy AB ⊥CD.

Bài 3 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, BSA^=CSA^=60°,BSC^=90°. Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ ⊥SA và IJ ⊥BC.

Lời giải:

Bài 3 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Xét tam giác SAB có:

SA = SB = a

BSA^=60°

Tam giác SAB đều.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ IB = a32

Xét tam giác SAC có:

SA = SC = a

ASC^=60°

Tam giác SAC đều.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ IC = a32

Ta có BSC là tam giác vuông cân tại S.

BC=SB2+SC2=a2

Xét tam giác ABC:

AB = AC = a

AB2 + AC2 = a2 + a2 = 2a2

BC2 = a22= 2a2

AB2 + AC2 = BC2

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ AJ ⊥ BC

AJ = AB2BJ2=a2a222=a22

Xét tam giác SBC vuông cân tại S:

Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ SJ ⊥ BC

SJ = SB2BJ2=a2a222=a22

Xét tam giác JSA:

AJ = SJ = a22

Tam giác JSA cân tại J.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác JSA.

hay IJ ⊥SA.

Xét tam giác IBC:

IB = IC = a32

Tam giác IBC cân tại I.

Mà J là trung điểm của BC ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác IBC.

hay IJ ⊥BC.

Bài 4 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AK và BC.

Lời giải:

Bài 4 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Gọi H là trung điểm của BD.

Ta có: K là trung điểm của CD.

Nên HK là đường trung bình tam giác BCD

⇒ HK // BC; HK = 12BC=a2

⇒ (AK, BC) = (AK, HK)

Xét tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC ⇒ AH = a32

Xét tam giác ACD đều có K là trung điểm của CD ⇒ AK = a32

Xét tam giác AHK: cosAKH^=AK2+HK2AH22.AK.HK=36

AKH^73,2°

Vậy (AK, BC) = AKH^73,2°

Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = CD = 2a và MN = a3 . Tính góc giữa AB và CD.

Lời giải:

Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Gọi O là trung điểm của AC.

Ta có M là trung điểm của BC.

OM là đường trung bình tam giác ABC

OM // AB; OM = 12 AB = a

Tương tự ON là đường trung bình tam giác ACD.

ON // CD; ON = 12CD = a

(AB, CD) = (OM, ON)

Trong tam giác MON:

OM = ON = a; MN = a3

cosMON^=OM2+ON2MN22.OM.ON=a2+a2a322.a.a=12

MON^=120°.

Vậy (AB, CD)=180°MON^=60°.

Bài 6 trang 56 Toán 11 Tập 2: Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều ABCDEF song song với mặt bàn và có cạnh AB song song với cạnh bàn a (Hình 5). Tính số đo góc hợp bởi đường thẳng a lần lượt với các đường thẳng AF, AE và AD.

Bài 6 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Lời giải:

Bài 6 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Ta có: AB // a, nên

(a, AF) = (AB, AF) = 120°

(a, AE) = (AB, AE) = 90°

(a, AD) = (AB, AD) = 60°

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: