Giải Toán 12 trang 32 Tập 1 Kết nối tri thức

---

Với Giải Toán 12 trang 32 Tập 1 trong Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 32.

Giải Toán 12 trang 32 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 3 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{-x^2+3x-1}{x-2}$.

Lời giải:

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{2}.

2. Sự biến thiên:

Có $y=\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-x+1+\frac{1}{x-2}$

+) $y^{\text{'}}=-1-\frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}<0$ với mọi x ≠ 2.

+) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=+\infty ;$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=-\infty$

+) Tiệm cận

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-\infty ;\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=+\infty$

Do đó x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(-x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x-2}=0; \underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(-x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x-2}=0$

Do đó y = −x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là $\left(0;\frac{1}{2}\right)$

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là $\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2};0\right);\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2};0\right)$

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; −1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bài 1.21 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = −x³ + 3x + 1;                           b) y = x³ + 3x² – x – 1.

Lời giải:

a) y = −x³ + 3x + 1

1. Tập xác định của hàm số là ℝ.

2. Sự biến thiên

+) y' = −3x² + 3; y' = 0 ⇔ −3x² + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −1.

+) Trên khoảng (−1; 1), y' > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1, giá trị cực tiểu y_CT = −1. Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại y_CĐ = 3.

+) Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-x^3+3x+1\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }-x^3\left(1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)=-\infty$;

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x^3+3x+1\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }-x^3\left(1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)=+\infty$

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 1).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; −1); (1; 3).

+) Đồ thị có tâm đối xứng là (0; 1).

Bài 1.22 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x+1}{x+1}$;                                     b) $y=\frac{x+3}{1-x}$.

Lời giải:

a) $y=\frac{2x+1}{x+1}$

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{−1}.

2. Sự biến thiên

+) Có $y^{\text{'}}=\frac{2\left(x+1\right)-\left(2x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}>0$ với mọi x ≠ −1.

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=+\infty ; \underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=-\infty$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2; \underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2$

Do đó x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 1) và giao với trục hoành tại điểm $\left(-\frac{1}{2};0\right)$.

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm (−1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này là trục đối xứng.

b) $y=\frac{x+3}{1-x}$

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

+) $y^{\text{'}}=\frac{\left(1-x\right)+\left(x+3\right)}{{\left(1-x\right)}^2}=\frac{4}{{\left(1-x\right)}^2}$ > 0 với mọi x ≠ 1.

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x+3}{1-x}=-\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+3}{1-x}=+\infty$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{3}{x}}{\frac{1}{x}-1}=-1;\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1+\frac{3}{x}}{\frac{1}{x}-1}=-1$

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 3), giao điểm của đồ thị với trục hoành là (−3; 0).

+) Đồ thị của hàm số nhận giao điểm I(1; −1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

Bài 1.23 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}$;                             b) $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$.

Lời giải:

a) $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}$

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

Có $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}=2x+1+\frac{5}{x-1}$

+) Có $y^{\text{'}}=2-\frac{5}{{\left(x-1\right)}^2}; y^{\text{'}}=0\iff 2-\frac{5}{{\left(x-1\right)}^2}=0\iff x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$hoặc $x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$.

+) Trên các khoảng $\left(-\infty ;\frac{2-\sqrt{10}}{2}\right)$ và $\left(\frac{2+\sqrt{10}}{2};+\infty \right)$, có y' > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

Trên các khoảng $\left(\frac{2-\sqrt{10}}{2};1\right)$ và $\left(1;\frac{2+\sqrt{10}}{2}\right)$, có y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

+) Hàm số đạt cực cực đại tại $x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$ và đạt cực tiểu tại $x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$.

+) $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=-\infty$;

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=+\infty$

+) Tiệm cận

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=+\infty ; \underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=-\infty$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(2x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5}{x-1}=0; \underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(2x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5}{x-1}=0$

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = 2x +1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; −4).

+) Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b) $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{−3}.

2. Sự biến thiên

Có $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}=x-1+\frac{4}{x+3}$

+) Có $y^{\text{'}}=1-\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2};y^{\text{'}}=0\iff 1-\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}=0\iff {\left(x+3\right)}^2=4\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=-5\end{array}\right.$

+) Trên các khoảng (−∞; −5) và (−1; +∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.

Trên các khoảng (−5; −3) và (−3; −1), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này.

+) Hàm số đạt cực đại tại x = −5 với y_CĐ = −8; hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 với y_CT = 0.

+) $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x\left(1+\frac{3}{x}\right)}=+\infty$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x\left(1+\frac{3}{x}\right)}=-\infty$

+) Tiệm cận

$\underset{x\to {\left(-3\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-3\right)}^{+}}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=+\infty ;\underset{x\to {\left(-3\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-3\right)}^{-}}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=-\infty$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4}{x+3}=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4}{x+3}=0$

Do đó x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là $\left(0;\frac{1}{3}\right)$

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (−1; 0).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(−3; −4) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bài 1.24 trang 32 Toán 12 Tập 1: Một cốc chứa 30 ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc.

a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x).

b) Coi C(x) là hàm số xác định với x ³ 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số này.

c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.

Lời giải:

a) Tổng khối lượng KOH sau khi trộn là: 30.100 + 8.x = 3000 + 8x (mg).

Tổng thể tích dung dịch sau khi trộn là: 30 + x (ml).

Nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn là $C\left(x\right)=\frac{3000+8x}{30+x}$(mg/ml).

b) $C\left(x\right)=\frac{3000+8x}{30+x},x\ge 0$

1. Tập xác định của hàm số là D = [0; +∞).

2. Sự biến thiên

+) Có $C^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{8\left(30+x\right)-\left(3000+8x\right)}{{\left(30+x\right)}^2}$$=\frac{-2760}{{\left(30+x\right)}^2}<0$ với mọi x ³ 0.

+) Hàm số luôn nghịch biến trên [0; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\underset{x\to +\infty }{\lim }C\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3000+8x}{30+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{3000}{x}+8}{\frac{30}{x}+1}=8$

Do đó y = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục Oy).

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 100).

+) Hàm số đi qua điểm $\left(120;\frac{132}{5}\right)$; (200; 20).

c) Vì $C^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-2760}{{\left(30+x\right)}^2}<\mathrm{0,}\forall x\ge 0$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }C\left(x\right)=8$ nên nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.

Bài 1.25 trang 32 Toán 12 Tập 1: Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở R1 và R2 thì điện trở tương đương R của mạch điện được tính theo công thức $R=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$ (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Giả sử một điện trở 8 W được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được kí hiệu x (W) thì điện trở tương đương R là hàm số của x. Vẽ đồ thị của hàm số y = R(x), x > 0 và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi x tăng.

b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 W.

Lời giải:

Ta có $y=R\left(x\right)=\frac{8x}{8+x},x>0$

1. Tập xác định D = (0; +∞).

2. Sự biến thiên

+) Có $y^{\text{'}}=\frac{8\left(8+x\right)-8x}{{\left(8+x\right)}^2}=\frac{64}{{\left(8+x\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x>0$

+) Hàm số luôn đồng biến trên (0; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{8}{\frac{8}{x}+1}=8$

Vậy y = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục Oy).

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Đồ thị hàm số giao với Ox, Oy tại (0; 0).

+) Đồ thị hàm số đi qua $\left(1;\frac{8}{9}\right);\left(2;\frac{8}{5}\right)$

a) Vì $y^{\text{'}}=\frac{64}{{\left(8+x\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x>0$ nên khi x tăng thì điện trở tương đương của mạch cũng tăng.

b) Vì $y^{\text{'}}=\frac{64}{{\left(8+x\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x>0$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=8$ nên điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 W.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay khác:

• Giải Toán 12 trang 26
• Giải Toán 12 trang 29