Lý thuyết Toán 8 Cánh diều Bài 4: Hình bình hành

---

Haylamdo biên soạn và sứu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Bài 4: Hình bình hành sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Lý thuyết Toán 8 Cánh diều Bài 4: Hình bình hành

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.

Ví dụ: Cho hình vẽ, tứ giác ABCD có phải là hình bình hành không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD có: $\widehat{A}+\widehat{D}=120°+60°=180°$

Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía

Suy ra AB // CD    (1)

Lại có: $\widehat{C}+\widehat{D}=120°+60°=180°$

Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía

Suy ra AD // BC    (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành.

2. Tính chất

Trong một hình bình hành:

- Các cạnh đối bằng nhau;

- Các góc đối bằng nhau;

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Ví dụ: Cho hai hình bình hành ABCD và BECD, AC cắt BD tại O. Chứng minh:

a) AB = BE;

b) $OB=\frac{1}{2}CE$ .

Hướng dẫn giải

Do ABCD là hình bình hành nên:

AB = CD, $OB=OD=\frac{1}{2}BD$ .

Do BECD là hình bình hành nên BE = CD, BD = CE.

a) Từ AB = CD và BE = CD, suy ra AB = BE (vì cùng bằng CD).

Vậy AB = BE.

b) Từ $OB=\frac{1}{2}BD$  và BD = CE.

Do đó $OB=\frac{1}{2}CE$ .

3. Dấu hiệu nhận biết

- Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có hai cạnh đối AB và CD song song và bằng nhau, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh:

a) ∆OAB = ∆OCD;

b) Tứ giác ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

a) Xét hai tam giác OAB và OCD, ta có:

AC ⊥ BD (so le trong);

AB = CD (giả thiết);

$\widehat{OAB}=\widehat{ODC}$ (so le trong)

Do đó ∆OAB = ∆OCD (g.c.g)

b) Do ∆OAB = ∆OCD nên OA = OC, OB = OD (các cặp cạnh tương ứng)

Suy ra tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD lần lượt tại H và K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên: AD = BC và AD // BC.

Vì AD // BC nên $\widehat{ADH}=\widehat{CBK}$  (hai góc so le trong).

Ta có: $\text{AH}\perp \text{BD}$  và $\text{CK}\perp \text{BD}$ . Suy ra: $\widehat{\text{AHD}}=\widehat{\text{CKB}}=90°$  và AH // CK.

Xét ΔAHD và ΔCKB có:

$\widehat{\text{AHD}}=\widehat{\text{CKB}}=90°$

$\widehat{\text{ADH}}=\widehat{\text{CBK}}$

AD = BC (cmt)

Do đó ΔAHD = ΔCKB (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác AHCK có:

AH = CK và AH // CK

Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành.

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh:

a) BE = DF;

b) BE // DF.

Hướng dẫn giải

Vì E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC nên:

 $AE=DE=\frac{1}{2}AD$ và $\text{BF}=\text{CF}=\frac{1}{2}AD$

Mà AD = BC nên AE = CF.

Xét ΔABE và ΔCDF có:

AB = DC

$\widehat{\text{EAB}}=\widehat{\text{DCF}}$ (Vì ABCD là hình bình hành)

AE = CF

Suy ra ΔABE = ΔCDF (c.g.c)

Suy ra BE = DF.

Vậy BE = DF.

b) Xét tứ giác EBFD có: BE = DF và DE = BF

Suy ra tứ giác EBFD là hình bình hành.

Do đó BE // DF.