Bài 3.19 trang 80 Chuyên đề Toán 11


Trong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc (P), (P) và (P) giao nhau tại O. Gọi A, A­, A lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các mặt phẳng (P), (P) và (P). Gọi M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A xuống các giao tuyến của (P) và (P), (P) và (P), (P) và (P).

Giải Chuyên đề Toán 11 Bài tập cuối chuyên đề 3 - Kết nối tri thức

Bài 3.19 trang 80 Chuyên đề Toán 11: Trong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc (P1), (P2) và (P3) giao nhau tại O. Gọi A1, A­2, A3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các mặt phẳng (P1), (P2) và (P3). Gọi M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A xuống các giao tuyến của (P1) và (P2), (P2) và (P3), (P3) và (P1).

a) Chứng minh OA2 = OM2 + ON2 + OP2.

b) Áp dụng ý a để chứng minh OA=OA12+OA22+OA322 .

Sử dụng kết quả trên để tính độ dài của một đoạn thẳng mà ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Lời giải:

Bài 3.19 trang 80 Chuyên đề Toán 11

a) Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông.

Tam giác OMA vuông tại M có: OA2 = OM2 + AM2 (1)

Tam giác ONA vuông tại N có: OA2 = ON2 + AN2 (2)

Tam giác OPA vuông tại P có: OA2 = OP2 + AP2 (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta được: 

3OA2 = (OM2 + ON2 + OP2) + (AM2 + AN2 + AP2

Ta chứng minh được: AM2 + AN2 + AP2 = 2OA2. (4)

Suy ra: OA2 = OM2 + ON2 + OP2

b) Vì AM vuông góc OM, OM // AA3 nên AM vuông góc AA3

Mà AA3 vuông góc với OA3 

Suy ra: AM // OA3 và AA3 // OM nên AMOA3 là hình bình hành.

Do đó: AM = OA3.

Chứng minh tương tự ta được: AN = OA1, AP = OA2.

Thay kết quả trên vào (4) ta được: OA32+OA22+OA12=2OA2 .

Suy ra OA=OA12+OA22+OA322 .

Ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Thay số vào kết quả trên ta được: OA=12+22+322=7  (cm).

Lời giải Chuyên đề Toán 11 Bài tập cuối chuyên đề 3 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: