Cho hai đường thẳng. Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d1 đến (P) là bằng nhau

Câu hỏi và bài tập chương 3

Bài 3.54 trang 133 Sách bài tập Hình học 12:Cho hai đường thẳng:

Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d₁ đến (P) là bằng nhau.

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương a→(0; −2; 1). Đường thẳng d₁ đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương b→(1; 0; −1).

Do d và d₁ chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc chung AB của d, d₁ và song song với d và d₁.

Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:

Lấy điểm A(6; - 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2; -11 – t’) thuộc d₁. Khi đó: AB→ = (−8 + t′; −2 + 2t; −18 – t − t′)

Ta có:

Suy ra A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)

Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)

Ta có: AB→ = (−12; −6; −12). Chọn n_P→ = (2; 1; 2)

Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0 hay 2x + y + 2z + 1 = 0.

Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:

Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d₁ là:

= (2; 1; 2)

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.

Khi đó:

n_Q→ = a→ ∧ (a→ ∧ b→)

Phương trình của (Q) là : –5(x – 6) + 2y + 4(z – 7) = 0 hay –5x + 2y + 4z + 2 = 0

Để tìm d₁ ∩ (Q) ta thế phương trình của d₁ vào phương trình của (Q). Ta có:

–5(–2 + t′) + 2(–2) + 4(–11 – t′) + 2 = 0

⇒ t′ = 4

⇒ d₁ ∩ (Q) = B(−6; −2; −7)

Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa d₁ và đường vuông góc chung AB. Khi đó: n_R→ = (−1; 4; −1)

Phương trình của (R) là –x + 4y – z – 5 = 0.

Suy ra d ∩ (R) = A(6; 4; 5).