Giải SBT Toán 10 trang 93 Tập 1 Cánh diều

❮ Bài trước Bài sau ❯

Với Giải sách bài tập Toán 10 trang 93 Tập 1 trong Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ SBT Toán 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 93.

Giải SBT Toán 10 trang 93 Tập 1 Cánh diều

Bài 41 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Chứng minh rằng nếu hai vectơ cùng hướng thì . $| \vec{a} | + | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$

Lời giải:

Không mất tính tổng quát ta lấy một điểm A bất kì, vẽ $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{B C} = \vec{b}$

Vì hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ cùng hướng nên A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C.

Ta có: $| \vec{a} | = | \vec{A B} | = A B, | \vec{b} | = | \vec{B C} | = B C$

⇒ $| \vec{a} | + | \vec{b} | = A B + B C = A C$

$\Rightarrow | \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{A B} + \vec{B C} | = \vec{A C}$ .

Vậy $| \vec{a} | + | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ .

Bài 42 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính $| \vec{A B} + \vec{A C} |$ .

Lời giải:

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính | vectơ AB + vectơ AC |

Lấy E là điểm thỏa mãn ABEC là hình bình hành, gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A E}$

⇒ $| \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A E} | = A E$

Vì M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của AE

⇒ AE = 2AM.

Xét tam giác ABM vuông tại B, có:

AM² = AB² + BM² (định lí pythagoras)

⇔ AM² = a² + ${(\frac{a}{2})}^{2}$ = a² + $\frac{a^{2}}{4}$ = $\frac{5 a^{2}}{4}$

⇔ AM = $\frac{\sqrt{5} a}{2}$

⇒ AE = 2AM = $2. \frac{\sqrt{5} a}{2} = \sqrt{5} a$

Vậy AE = $\sqrt{5} a$ .

Bài 43 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, E là trung điểm của AD, G là giao điểm của BE và AC. Tính:

a) $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D}$ ;

b) $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G D}$ .

Lời giải:

Cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, E là trung điểm của AD

a) Xét hình bình hành ABCD, có O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và O là trung điểm của BD.

⇒ $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$ và $\vec{O B} + \vec{O D} = \vec{0}$

Ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D}$

$= (\vec{O A} + \vec{O C}) + (\vec{O B} + \vec{O D})$ .

$= \vec{0} + \vec{0}$ $= \vec{0}$

Vậy $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

b) Xét tam giác ABD, có:

AO là trung tuyến, BE là đường trung tuyến

Mà AO giao với BE tại G nên G là trọng tâm tam giác ABD

⇒ $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G D} = \vec{0}$

Vậy $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G D} = \vec{0}$ .

Bài 44 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn $| \vec{A B} + \vec{B M} | = | \vec{A C} - \vec{A M} |$ .

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A M}$

⇒ $| \vec{A B} + \vec{B M} | = | \vec{A M} | = A M$

Ta lại có: $\vec{A C} - \vec{A M} = \vec{A C} + \vec{M A} = \vec{M C}$

⇒ $| \vec{A C} - \vec{A M} | = | \vec{M C} | = M C$

Vì $| \vec{A B} + \vec{B M} | = | \vec{A C} - \vec{A M} |$ nên AM = MC

Tập hợp điểm M thỏa mãn AM = MC là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện đầu bài là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Bài 45 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm là G. Chứng minh $\vec{AA'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0}$ .

Lời giải:

Ta có: $\vec{AA'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{AG} + \vec{G A'} + \vec{B G} + \vec{G B'} + \vec{C G} + \vec{G C'}$

$= (\vec{AG} + \vec{B G} + \vec{C G}) + (\vec{G A'} + \vec{G B'} + \vec{G C'})$

$= (- \vec{GA} - \vec{G B} - \vec{G C}) + (\vec{G A'} + \vec{G B'} + \vec{G C'})$

$= - (\vec{GA} + \vec{G B} + \vec{G C}) + (\vec{G A'} + \vec{G B'} + \vec{G C'})$

$= \vec{0} + \vec{0}$

$= \vec{0}$

Bài 46 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh đôi một khác nhau. Gọi H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, D là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh rằng: $\vec{H A} + \vec{H B} + \vec{H C} = \vec{H D}$ .