Cho biết mỗi kilôgam thịt bò giá 250 nghìn đồng, trong đó có chứa khoảng 800 đơn vị protein

Giải SBT Toán 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 4 trang 34 SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp các bạn dễ dàng nắm được cách làm bài tập Sách bài tập Toán 10.

Bài 4 trang 34 SBT Toán 10 Tập 1: Cho biết mỗi kilôgam thịt bò giá 250 nghìn đồng, trong đó có chứa khoảng 800 đơn vị protein và 100 đơn vị lipit, mỗi kilôgam thịt heo có giá 200 nghìn đồng, trong đó có chứa khoảng 600 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Một gia đình cần ít nhất 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit trong khẩu phần thức ăn mỗi ngày và họ chỉ có thể mua một ngày không quá 1 kg thịt bò và 1,5 kg thịt heo. Hỏi gia đình này phải mua bao nhiêu kilôgam thịt mỗi loại để chi phí là ít nhất?

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số kilôgam thịt bò và thịt heo có thể mua.

Vì gia đình đó chỉ có thể mua một ngày không quá 1 kg thịt bò và 1,5 kg thịt heo, do đó ta có: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,5. (1)

Trong x kilôgam thịt bò chứa khoảng 800x đơn vị protein, 100x đơn vị lipit.

Trong y kilôgam thịt heo chứa khoảng 600y đơn vị protein, 200y đơn vị lipit.

Mà gia đình cần ít nhất 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit trong khẩu phần thức ăn mỗi ngày nên 800x + 600y ≥ 800 và 100x + 200y ≥ 200.

Ta có: 800x + 600y ≥ 800 ⇔ 4x + 3y ≥ 4. (2)

100x + 200y ≥ 200 ⇔ x + 2y ≥ 2. (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}4x+3y\ge 4\\ x+2y\ge 2\\ x\ge 0\\ x\le 1\\ y\ge 0\\ y\le 1,5\end{array}\right.$.

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, ta biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ trên mặt phẳng Oxy và xét phần giao.

+ Vẽ đường thẳng 4x + 3y = 4 đi qua hai điểm $\left(0;\frac{4}{3}\right)$ và (1; 0).

Xét gốc tọa độ O không thuộc đường thẳng 4x + 3y = 4, ta có: 4 . 0 + 3 . 0 = 0 < 4.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình 4x + 3y ≥ 4 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng 4x + 3y = 4, không chứa điểm O, kể cả đường thẳng 4x + 3y = 4.

+ Vẽ đường thẳng x + 2y = 2 đi qua hai điểm (0; 1) và (2; 0).

Xét gốc tọa độ O không thuộc đường thẳng x + 2y = 2, ta có: 0 + 2 . 0 = 0 < 2.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x + 2y ≥ 2 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x + 2y = 2, không chứa điểm O, kể cả đường thẳng x + 2y = 2.

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng Oy, nằm bên phải trục Oy, bao gồm cả đường thẳng Oy.

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≤ 1 chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x = 1, nằm bên trái đường thẳng x = 1, bao gồm cả đường thẳng x = 1.

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng Ox, nằm bên trên trục Ox, bao gồm cả đường thẳng Ox.

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≤ 1,5 chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng y = 1,5, nằm bên dưới đường thẳng y = 1,5, bao gồm cả đường thẳng y = 1,5.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên chính là miền ngũ giác ABCDE (kể cả bờ) với tọa độ các đỉnh là: A$\left(0;\frac{4}{3}\right)$, B(0; 1,5), C(1; 1,5), D(1; 0,5), E(0,4; 0,8).

Số tiền gia đình đó cần bỏ ra để mua được x kilôgam thịt bò (250 nghìn đồng/1kg) và y kilôgam thịt lợn (200 nghìn đồng/1kg) là F = 250x + 200y (nghìn đồng).

Người ta chứng minh được rằng F đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ABCDE.

Ta có: F$\left(0;\frac{4}{3}\right)$ = 250 . 0 + 200 . $\frac{4}{3}$ = $\frac{800}{3}$.

F(0; 1,5) = 250 . 0 + 200 . 1,5 = 300.

F(1; 1,5) = 250 . 1 + 200 . 1,5 = 550.

F(1; 0,5) = 250 . 1 + 200 . 0,5 = 350.

F(0,4; 0,8) = 250 . 0,4 + 200 . 0,8 = 260.

Do đó, F đạt giá trị nhỏ nhất là 260 nghìn đồng tại đỉnh E(0,4; 0,8).

Vậy gia đình này chỉ cần mua 0,4 kg thịt bò và 0,8 kg thịt heo để đủ đáp ứng yêu cầu về dinh dưỡng mà lại tốn chi phí ít nhất.