Sách bài tập Toán 10 trang 94 Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải SBT Toán 10 trang 94 trong Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp các bạn dễ dàng nắm được cách làm bài tập Sách bài tập Toán 10.

Giải SBT Toán 10 trang 94 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 94 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD và M là trung điểm cạnh AB, N là trung điểm cạnh CD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MC}}$ = $\overrightarrow{\text{MB}}$ + $\overrightarrow{\text{MD}}$ = $\overrightarrow{\text{MN}}$.

Lời giải:

Gọi O là tâm hình thoi. O là trung điểm của AC và BD ( tính chất hình thoi).

⇒ $\overrightarrow{\text{OA}}$ + $\overrightarrow{\text{OC}}$ = $\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{\text{OB}}$ + $\overrightarrow{\text{OD}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Ta có:

$\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MC}}$ = $\overrightarrow{\text{MO}}$ + $\overrightarrow{\text{OA}}$ + $\overrightarrow{\text{MO}}$ + $\overrightarrow{\text{OC}}$ = 2$\overrightarrow{\text{MO}}$ + $\overrightarrow{\text{OA}}$ + $\overrightarrow{\text{OC}}$ = 2$\overrightarrow{\text{MO}}$ = $\overrightarrow{\text{MN}}$.

$\overrightarrow{\text{MB}}$ + $\overrightarrow{\text{MD}}$ = $\overrightarrow{\text{MO}}$ + $\overrightarrow{\text{OB}}$ + $\overrightarrow{\text{MO}}$ + $\overrightarrow{\text{OD}}$ = 2$\overrightarrow{\text{MO}}$ + $\overrightarrow{\text{OB}}$ + $\overrightarrow{\text{OD}}$ = 2$\overrightarrow{\text{MO}}$ = $\overrightarrow{\text{MN}}$.

Vậy $\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MC}}$ = $\overrightarrow{\text{MB}}$ + $\overrightarrow{\text{MD}}$ = $\overrightarrow{\text{MN}}$.

Bài 2 trang 94 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có:

a) $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}+\overrightarrow{\text{CD}}+\overrightarrow{\text{DA}}=\overrightarrow{0}$.

b) $\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{CB}}-\overrightarrow{\text{CD}}$.

Lời giải:

a) Theo quy tắc ba điểm cộng vectơ ta có:

$\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{BC}}$ = $\overrightarrow{\text{AC}}$ và $\overrightarrow{\text{CD}}$ + $\overrightarrow{\text{DA}}$ = $\overrightarrow{\text{CA}}$

Như vậy: $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}+\overrightarrow{\text{CD}}+\overrightarrow{\text{DA}}$ = $\overrightarrow{\text{AC}}$ + $\overrightarrow{\text{CA}}$ = $\overrightarrow{0}$.

b) Ta có:

$\overrightarrow{\text{AB}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{DA}}$ = $\overrightarrow{\text{DB}}$.

$\overrightarrow{\text{CB}}$ – $\overrightarrow{\text{CD}}$ = $\overrightarrow{\text{CB}}$ + $\overrightarrow{\text{DC}}$ = $\overrightarrow{\text{DB}}$.

Vậy $\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{CB}}-\overrightarrow{\text{CD}}$.

Bài 3 trang 94 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}$ và $\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\text{}$.

Lời giải:

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}$ = $\overrightarrow{\text{AC}}$

Tam giác ABC đều cạnh bằng a nên AC = a.

Do đó $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}\right)$ = $\left(\overrightarrow{\text{AC}}\right)$ = a.

Gọi M là trung điểm cạnh AC.

Ta có:

$\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\text{}$ = $\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{CB}}$ = $\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{CA}}$ + $\overrightarrow{\text{AB}}$ = 2$\overrightarrow{\text{AB}}$ + 2$\overrightarrow{\text{MA}}\text{}$= 2($\overrightarrow{\text{MA}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{AB}}$) = 2$\overrightarrow{\text{MB}}$.

Vì MB là đường trung tuyến của tam giác đều ABC cạnh bằng a nên MB = $\frac{\text{a}\sqrt{\text{3}}}{2}$.

Do đó $\left(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\text{}\right)$ = 2$\left(\overrightarrow{\text{MB}}\right)$ = a$\sqrt{3}$.

Vậy $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}\right)=a$ và $\left(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\text{}\right)=a\sqrt{3}$.

Bài 4 trang 94 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{\text{CO}}-\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{BA}}\text{}$;

b) $\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{DB}}$ ;

c) $\overrightarrow{\text{DA}}-\overrightarrow{\text{DB}}=\overrightarrow{\text{OD}}-\overrightarrow{\text{OC}}$;

d) $\overrightarrow{\text{DA}}-\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD.

Do đó $\overrightarrow{\text{CO}}$ = $\overrightarrow{\text{OA}}$ ⇒ $\overrightarrow{\text{CO}}-\overrightarrow{\text{OB}}$ = $\overrightarrow{\text{OA}}$ – $\overrightarrow{\text{OB}}$ = $\overrightarrow{\text{BA}}$.

b) Vì ABCD là hình bình hành nên: $\overrightarrow{\text{BC}}$ = $\overrightarrow{\text{AD}}$

Ta có: $\overrightarrow{\text{AB}}$ – $\overrightarrow{\text{BC}}$ = $\overrightarrow{\text{AB}}$ – $\overrightarrow{\text{AD}}$= $\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{DA}}$= $\overrightarrow{\text{DA}}$+ $\overrightarrow{\text{AB}}$ = $\overrightarrow{\text{DB}}$.

c) Ta có: $\overrightarrow{\text{DA}}$ – $\overrightarrow{\text{DB}}$ = $\overrightarrow{\text{DA}}$ + $\overrightarrow{\text{BD}}$ = $\overrightarrow{\text{BD}}$ + $\overrightarrow{\text{DA}}$ = $\overrightarrow{\text{BA}}$ và $\overrightarrow{\text{OD}}$ – $\overrightarrow{\text{OC}}$ = $\overrightarrow{\text{OD}}$ + $\overrightarrow{\text{CO}}$ = $\overrightarrow{\text{CO}}$ + $\overrightarrow{\text{OD}}$ = $\overrightarrow{\text{CD}}$.

Mà ta lại có ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{\text{BA}}$ = $\overrightarrow{\text{CD}}$.

Vậy nên $\overrightarrow{\text{DA}}-\overrightarrow{\text{DB}}=\overrightarrow{\text{OD}}-\overrightarrow{\text{OC}}$.

d) Theo chứng minh trên ta có: $\overrightarrow{\text{DA}}$ – $\overrightarrow{\text{DB}}$ = $\overrightarrow{\text{BA}}$ = $\overrightarrow{\text{CD}}$

⇒$\overrightarrow{\text{DA}}-\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}$ = $\overrightarrow{\text{CD}}$ + $\overrightarrow{\text{DC}}$ = $\overrightarrow{\text{0}}$.

Vậy $\overrightarrow{\text{DA}}-\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}=\overrightarrow{0}$.

Bài 5 trang 94 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba lực $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{1}}}=\overrightarrow{\text{MA}}$, $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{2}}}=\overrightarrow{\text{MB}}$ và $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{3}}}=\overrightarrow{\text{MC}}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết độ lớn của $\overrightarrow{{\text{F}}_1}$, $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{2}}}$ đều là 100N và $\widehat{\text{AMB}}$ = 60°. Tính độ lớn của lực $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{3}}}$.

Lời giải:

Mđứng yên nên $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{1}}}$ + $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{2}}}$ + $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{3}}}$ = $\overrightarrow{0}$

⇒ $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{3}}}$ = – ( $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{1}}}$ + $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{2}}}$) = – ( $\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MB}}$) = –$\overrightarrow{\text{MD}}$

⇒ $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{3}}}$ có hướng ngược với $\overrightarrow{\text{MD}}$ và có độ lớn bằng $\overrightarrow{\text{MD}}$.

Dựng hình bình hành MADB.

Gọi I là giao điểm của AB và MD. Khi đó I là trung điểm của AB và MD.

Mặt khác $\widehat{\text{AMB}}$ = 60° nên tam giác AMB đều.

Khi đó MI ⊥ AB ⇒ Tam giác AIM vuông tại I.

⇒ MI = AM.sin$\widehat{\text{MAI}}\text{}$= 100.sin60° = 50$\sqrt{3}$ ⇒ MD = 2MI = 100$\sqrt{3}$.

Vậy độ lớn của lực $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{3}}}$ bằng 100$\sqrt{3}$.

Bài 6 trang 94 SBT Toán 10 Tập 1: Khi máy bay nghiêng cánh một góc α, lực $\overrightarrow{\text{F}}$ của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng $\overrightarrow{{\text{F}}_1}$ và lực cản $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{2}}}$ ( Hình 8). Cho biết α = 45° và $\overrightarrow{\left(\text{F}\right)}$ = a. Tính $\left(\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{1}}}\right)$ và $\left(\overrightarrow{{\text{F}}_2}\right)$ theo a.

Lời giải:

Đặt tên các điểm trong hình vẽ, ta có:

Khi đó $\left(\overrightarrow{F}\right)=OB,\left(\overrightarrow{F_1}\right)=OA,\left(\overrightarrow{F_2}\right)=OC$

Vì lực $\overrightarrow{F}$ vuông góc với phương xy của cánh nên $\widehat{FOx}=90°$.

Ta có: $\widehat{\text{COx}}=\alpha =45°$

⇒ $\widehat{BOC}=\widehat{\text{BOx}}-\widehat{COx}=90°-45°=45°$

Xét tam giác BOC vuông tại C, có:

$cos\widehat{BOC}=\frac{OC}{OB}$ ⇔cos45° = $\frac{\overrightarrow{\left({\text{F}}_{\text{2}}\right)}}{\text{a}}$ ⇒ $\left(\overrightarrow{{\text{F}}_2}\right)$ = $\overrightarrow{\left(\text{F}\right)}$. cos45° = $\frac{\text{a}\sqrt{2}}{2}$.

$\sin \widehat{BOC}=\frac{OC}{OB}$ ⇔sin45° = $\frac{\overrightarrow{\left({\text{F}}_1\right)}}{\text{a}}$ ⇒ $\left(\overrightarrow{{\text{F}}_1}\right)$ = $\overrightarrow{\left(\text{F}\right)}$. sin45° = $\frac{\text{a}\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $\left(\overrightarrow{{\text{F}}_2}\right)=\left(\overrightarrow{{\text{F}}_1}\right)=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Bài 7 trang 94 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có tâm O và có cạnh bằng a. Cho hai điểm M, N thỏa mãn: $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MD}}=\overrightarrow{0}$ ; $\overrightarrow{\text{NB}}+\overrightarrow{\text{ND}}+\overrightarrow{\text{NC}}=\overrightarrow{0}$.

Tìm độ dài các vectơ $\overrightarrow{\text{MA}}$, $\overrightarrow{\text{NO}}$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MD}}=\overrightarrow{0}$ suy ra M là trung điểm AD. Khi đó $\left(\overrightarrow{\text{MA}}\right)$ = MA = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{\text{a}}{\text{2}}$.

Và $\overrightarrow{\text{NB}}+\overrightarrow{\text{ND}}+\overrightarrow{\text{NC}}=\overrightarrow{0}$ suy ra N là trọng tâm tam giác BCD. Khi đó $\left(\overrightarrow{NO}\right)$ = NO = $\frac{1}{3}$CO = $\frac{1}{6}$CA.

Xét hình vuông ABCD, có: CA = $=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{{\text{a}}^2+{\text{a}}^2}$ = $\text{a}\sqrt{2}$

Suy ra $\left(\overrightarrow{\text{NO}}\right)=\frac{1}{6}CA=\frac{1}{6}.a\sqrt{2}=\frac{\text{a}\sqrt{2}}{6}$.