Sách bài tập Toán 10 trang 97 Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải SBT Toán 10 trang 97 trong Bài 3: Tích của một số với một vectơ. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp các bạn dễ dàng nắm được cách làm bài tập Sách bài tập Toán 10.

Giải SBT Toán 10 trang 97 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:

a) $2\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}=\overrightarrow{0}$;

b) $2\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}=4\overrightarrow{\text{OD}}$, với O là điểm tùy ý.

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của BC nên: $\overrightarrow{\text{DB}}+\text{}\overrightarrow{\text{DC}}=2\overrightarrow{\text{DM}}$.

Mặt khác do D là trung điểm đoạn AM nên $\overrightarrow{\text{DM}}=-\overrightarrow{\text{DA}}\text{}$

Vậy nên $\overrightarrow{\text{DB}}$ + $\overrightarrow{\text{DC}}$ = –2$\overrightarrow{\text{DA}}$ hay

$2\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}=2\overrightarrow{\text{DA}}-2\overrightarrow{\text{DA}}=\overrightarrow{0}$.

b) Ta có: 2$\overrightarrow{\text{DA}}$ + $\overrightarrow{\text{DB}}$ + $\overrightarrow{\text{DC}}$

= 2($\overrightarrow{\text{DO}}$ + $\overrightarrow{\text{OA}}\text{}$) + $\overrightarrow{\text{DO}}$ + $\overrightarrow{\text{OB}}$ + $\overrightarrow{\text{DO}}$ + $\overrightarrow{\text{OC}}$

= 2$\overrightarrow{\text{DO}}$ + 2$\overrightarrow{\text{OA}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{DO}}$ + $\overrightarrow{\text{OB}}$ + $\overrightarrow{\text{DO}}$ + $\overrightarrow{\text{OC}}$

= $4\overrightarrow{\text{DO}}$ + $2\overrightarrow{\text{OA}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{OB}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{OC}}\text{}$

Vậy $4\overrightarrow{\text{DO}}$ + $2\overrightarrow{\text{OA}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{OB}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{OC}}\text{}$ = $\overrightarrow{0}$ hay $2\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}=4\overrightarrow{\text{OD}}$

Bài 3 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\overrightarrow{\text{MI}}$.

b) G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MC}}=3\overrightarrow{\text{MG}}$.

Lời giải:

a) Với điểm M bất kì ta có: $\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MB}}$ = $\overrightarrow{\text{MI}}$ + $\overrightarrow{\text{IA}}$ + $\overrightarrow{\text{MI}}$ + $\overrightarrow{\text{IB}}$

I là trung điểm đoạn thẳng AB nên $\overrightarrow{\text{IA}}$ + $\overrightarrow{\text{IB}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Khi đó: $\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MB}}$ = $\overrightarrow{\text{MI}}$ + $\overrightarrow{\text{IA}}$ + $\overrightarrow{\text{MI}}$ + $\overrightarrow{\text{IB}}$ = 2$\overrightarrow{\text{MI}}$.

Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\overrightarrow{\text{MI}}$.

b) Với điểm M bất kì ta có:

$\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MB}}$ + $\overrightarrow{\text{MC}}$ = $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GA}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GB}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}\text{}$ = 3$\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GA}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GB}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}\text{}$.

G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{\text{GA}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GB}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}\text{}$ = $\overrightarrow{0}$.

Khi đó $\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{MB}}$ + $\overrightarrow{\text{MC}}$= 3$\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$.

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MC}}=3\overrightarrow{\text{MG}}$.

Bài 4 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho $3\overrightarrow{\text{KA}}+2\overrightarrow{\text{KB}}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Vì $3\overrightarrow{\text{KA}}+2\overrightarrow{\text{KB}}=\overrightarrow{0}$ nên 3$\overrightarrow{\text{KA}}$ = –2$\overrightarrow{\text{KB}}$

Suy ra $\overrightarrow{\text{KA}}$ = $\frac{-2}{3}$$\overrightarrow{\text{KB}}$ = $\frac{-2}{3}$ ($\overrightarrow{\text{KA}}$ + $\overrightarrow{\text{AB}}$)

Do đó $\frac{5}{3}$$\overrightarrow{\text{KA}}$ = $\frac{-2}{3}$$\overrightarrow{\text{AB}}$.

Nên $\overrightarrow{\text{AK}}\text{}$ = $\frac{2}{5}$$\overrightarrow{\text{AB}}$.

Vậy K nằm giữa A và B sao cho AK = $\frac{2}{5}$AB.

Bài 5 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên ta có: $\overrightarrow{\text{MN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}$.

Tương tự ta có: $\overrightarrow{\text{PQ}}$ = $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{\text{CE}}$; $\overrightarrow{\text{RS}}$ = $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{\text{EA}}$.

Suy ra $\overrightarrow{\text{MN}}$ + $\overrightarrow{\text{PQ}}$ + $\overrightarrow{\text{RS}}$ = $\frac{1}{2}$ ($\overrightarrow{\text{AC}}$ + $\overrightarrow{\text{CE}}$ + $\overrightarrow{\text{EA}}$) = $\frac{1}{2}$ ($\overrightarrow{\text{AE}}$ + $\overrightarrow{\text{EA}}$) = $\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{\text{MN}}$ + $\overrightarrow{\text{PQ}}$ + $\overrightarrow{\text{RS}}$ = $\overrightarrow{0}$

Gọi G là trọng tâm tam giác MPR ta có: $\overrightarrow{\text{GM}}$ + $\overrightarrow{\text{GP}}$ + $\overrightarrow{\text{GR}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Ta lại có:

$\overrightarrow{\text{MN}}$ = $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GN}}$; $\overrightarrow{\text{PQ}}$ = $\overrightarrow{\text{PG}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$; $\overrightarrow{\text{RS}}$ = $\overrightarrow{\text{RG}}$ + $\overrightarrow{\text{GS}}$

Suy ra $\overrightarrow{\text{MN}}$ + $\overrightarrow{\text{PQ}}$ + $\overrightarrow{\text{RS}}$ = $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{PG}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$ + $\overrightarrow{\text{RG}}$ + $\overrightarrow{\text{GS}}$

= $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{PG}}$ + $\overrightarrow{\text{RG}}$ + $\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$ + $\overrightarrow{\text{GS}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Mà $\overrightarrow{\text{GM}}$ + $\overrightarrow{\text{GP}}$ + $\overrightarrow{\text{GR}}$ = $\overrightarrow{0}$ ⇒ – ( $\overrightarrow{\text{GM}}$ + $\overrightarrow{\text{GP}}$ + $\overrightarrow{\text{GR}}$) = $\overrightarrow{0}$ ⇒ $\overrightarrow{\text{MG}}\text{}$ + $\overrightarrow{\text{PG}}$ + $\overrightarrow{\text{RG}}$= $\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$ + $\overrightarrow{\text{GS}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Suy ra G là trọng tâm của tam giác NQS.

Như vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Bài 6 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Máy bay A với vận tốc $\overrightarrow{\text{a}}$, máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy A. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow{\text{b}}$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{\text{a}}$ của máy bay A.

Lời giải:

Máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy A nên vectơ vận tốc của máy bay B là: $\overrightarrow{\text{b}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{a}}$.