Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính khoảng cách:
Giải sách bài tập Toán 11 Bài 5: Khoảng cách
Bài 48 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính khoảng cách:
a) Từ điểm C đến mặt phẳng (SAB);
b) Giữa hai đường thẳng SB và CD;
c) Giữa hai đường thẳng BC và SA;
d) Từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD).
Lời giải:
a) Gọi H là trung điểm của AB.
Vì tam giác SAB vuông cân tại S nên ta có: SH ⊥ AB và SA ⊥ SB.
Dễ thấy: AB = (SAB) ∩ (ABCD).
Mà (SAB) ⊥ (ABCD), SH ⊥ AB, SH ⊂ (SAB).
Suy ra SH ⊥ (ABCD).
Hơn nữa BC ⊂ (ABCD) nên ta có SH ⊥ BC.
Do ABCD là hình chữ nhật nên BC ⊥ AB.
Ta có: BC ⊥ SH, BC ⊥ AB, SH ∩ AB = H trong (SAB)
Suy ra BC ⊥ (SAB).
Như vậy: d(C, (SAB)) = BC = AD = 3a (vì ABCD là hình chữ nhật).
b) Do ABCD là hình chữ nhật nên CD // AB.
Mà AB ⊂ (SAB), suy ra CD // (SAB).
Như vậy: d(CD, AB) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = 3a.
c) Theo câu a ta có BC ⊥ (SAB) mà SB ⊂ (SAB) nên BC ⊥ SB.
Hơn nữa SA ⊥ SB.
Suy ra: SB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BC và SA.
Như vậy: d(BC, SA) = SB.
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác SAB vuông cân tại S có:
SA2 + SB2 = AB2 ⇒ 2SB2 = AB2 (Do SA = SB)
Vậy
d) Theo câu a ta có SH ⊥ (ABCD).
Như vậy: d(S, (ABCD)) = SH.
Xét tam giác SAB vuông tại S có đường trung tuyến SH nên ta có:
Vậy d(S, (ABCD)) = SH = a.
Lời giải SBT Toán 11 Bài 5: Khoảng cách hay khác: