Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách:

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 26: Khoảng cách - Kết nối tri thức

Bài 7.27 trang 37 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách:

a) Giữa hai đường thẳng AB và C'D'.

b) Giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (A'B'C'D').

c) Từ điểm A đến đường thẳng B'D'.

d) Giữa hai đường thẳng AC và B'D'.

Lời giải:

a) Do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên các mặt là hình vuông.

Vì ABCD là hình vuông nên AB $⊥$ BC mà AB $⊥$ BB' (do BB' $⊥$ (ABCD)), từ đó suy ra AB $⊥$ (BCC'B'), suy ra BC' $⊥$ AB.

Vì A'B'C'D' là hình vuông nên C'D' $⊥$ B'C' mà CC' $⊥$ C'D' (do CC' $⊥$ (A'B'C'D')) nên C'D' $⊥$ (BCC'B'), suy ra BC' $⊥$ C'D'.

Xét tam giác BB'C' vuông tại B', có BC' = $\sqrt{B B'^{2} + B' C'^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì BC' $⊥$ AB và BC' $⊥$ C'D' nên d(AB, C'D') = BC' = $a \sqrt{2}$ .

b) Ta có AA' // CC' và AA' = CC' (do AA'; CC' cùng song song và bằng BB').

Do đó ACC'A' là hình bình hành, suy ra AC // A'C'. Do đó AC // (A'B'C'D').

Vì AC // (A'B'C'D') nên d(AC, (A'B'C'D')) = d(A, (A'B'C'D')) = AA' = a.

c) Gọi O' là giao điểm của A'C' và B'D'.

Vì AA' $⊥$ (A'B'C'D') nên AA' $⊥$ B'D'.

Vì A'B'C'D' là hình vuông nên A'C' $⊥$ B'D' mà AA' $⊥$ B'D' nên B'D' $⊥$ (AA'C'C), suy ra AO' $⊥$ B'D'.

Xét tam giác A'B'C' vuông tại B', có: A'C' = $\sqrt{A' B'^{2} + B' C'^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Do A'B'C'D' là hình vuông và O' là giao điểm của A'C' và B'D' nên O' là trung điểm của A'C'. Do đó A'O' = $\frac{A' C'}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác AA'O' vuông tại A', có AO' = $\sqrt{A A'^{2} + A' O'^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{2 a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Vì AO' $⊥$ B'D' nên d(A, B'D') = AO' = $\frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

d) Vì AC // A'C' nên AC // ((A'B'C'D')) mà B'D' $\subset$ (A'B'C'D').

Do đó d(AC, B'D') = d(AC, (A'B'C'D')) = d(A, (A'B'C'D')) = AA' = a.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 26: Khoảng cách hay khác: