Cho tam giác ABC vuông tại C có góc CAB = 60 độ, AE là tia phân giác của góc CAB (E thuộc BC)

Cho tam giác ABC vuông tại C có , AE là tia phân giác của góc CAB (E ∈ BC). Gọi D là hình chiếu của B trên tia AE, K là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh:

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 82 trang 92 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại C có $\widehat{CAB}=60°$ , AE là tia phân giác của góc CAB (E ∈ BC). Gọi D là hình chiếu của B trên tia AE, K là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh:

a) EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA;

b) EC = ED = EK.

Lời giải:

a) Tam giác ABC vuông tại C có $\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{CBA}=90°-\widehat{CAB}=90°-60°=30°$ .

Tam giác EBK vuông tại K có (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{KEB}=90°-\widehat{KBE}=90°-30°=60°$ .

•Vì AE là tia phân giác của góc CAB nên $\widehat{CAE}=\widehat{BAE}=\frac{1}{2}\widehat{CAB}=\frac{1}{2}.60°=30°$ .

Tam giác ACE vuông tại C có $\widehat{CEA}+\widehat{CAE}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{CEA}=90°-\widehat{CAE}=90°-30°=60°$

Do đó $\widehat{DEB}=\widehat{CEA}=60°$ (hai góc đối đỉnh).

Ta có $\widehat{KEB}=\widehat{DEB}$ (cùng bằng 60°) nên EB là tia phân giác của góc DEK.

•Ta có $\widehat{KEA}+\widehat{KED}=180°$ (hai góc kề bù)

Hay $\widehat{KEA}+\widehat{KEB}+\widehat{BED}=180°$

Suy ra $\widehat{KEA}=180°-\widehat{KEB}-\widehat{BED}=180°-60°-60°=60°$ .

Do đó $\widehat{KEA}=\widehat{KEB}$ (cùng bằng 60°).

Nên EK là tia phân giác của góc BEA.

Vậy EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA.

b) Xét ∆ACE và ∆AKE có:

$\widehat{ACE}=\widehat{AKE}\left(=90°\right)$,

AE là cạnh chung,

$\widehat{CAE}=\widehat{KAE}$ (chứng minh câu a).

Do đó ∆ACE = ∆AKE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CE = KE (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét ∆EKB và ∆EDB có:

$\widehat{EKB}=\widehat{E\text{D}B}\left(=90°\right)$,

BE là cạnh chung,

$\widehat{KEB}=\widehat{DEB}$ (chứng minh câu a)

Do đó ∆EKB = ∆EDB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra KE = DE (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có EC = EK = ED.

Vậy EC = ED = EK.