Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền

Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 88 trang 94 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

Lời giải:

Gọi d là đường trung trực của cạnh AB và M là giao điểm của d và BC.

Do M ∈ d nên MA = MB hay tam giác MAB cân tại M.

Suy ra $\hat{M B A} = \hat{M A B}$ (1)

Trong tam giác vuông ABC có $\hat{A B C} + \hat{A C B} = 90 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Nên $\hat{A C B} = 90 ° - \hat{A B C}$ (2)

Ta có $\hat{B A M} + \hat{M A C} = \hat{B A C} = 90 °$

Nên $\hat{M A C} = 90 ° - \hat{M B A}$ (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra $\hat{M A C} = \hat{M C A}$

Do đó tam giác MAC cân tại M nên MA = MC.

Như vậy, MB = MC (= MA) nên M là trung điểm của BC.

Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.