Giải SBT Toán 7 trang 95 Tập 2 Cánh diều

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải sách bài tập Toán 7 trang 95 Tập 2 trong Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác SBT Toán 7 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 7 trang 95.

Giải SBT Toán 7 trang 95 Tập 2 Cánh diều

Bài 90 trang 95 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân ở A có $\widehat{BAC}=120°$ . Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở I và cắt cạnh BC lần lượt tại D, E (Hình 56).

a) Chứng minh điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

b) Đường tròn tâm I bán kính IA đi qua những điểm nào?

c) Tính số đo các góc của tam giác IBC.

Lời giải:

a) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của hai đường trung trực d, d’ với AC, AB.

•Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\hat{B}=\hat{C}$ .

Vì Q là trung điểm của AB nên AQ = QB = $\frac{1}{2}$AB.

Vì P là trung điểm của AC nên AP = PC = $\frac{1}{2}$AC.

Mà AB = AC nên AQ = BQ = AP = CP.

• Xét ∆AQIvà ∆API có:

$\widehat{AQI}=\widehat{API}\left(=90°\right)$,

AI là cạnh chung,

AQ = AP (chứng minh trên)

Do đó ∆AQI= ∆API (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó QI = PI (hai cạnh tương ứng).

• Xét ∆BQD và ∆CPE có:

$\widehat{BQ\text{D}}=\widehat{CPE}\left(=90°\right)$,

$\hat{B}=\hat{C}$ (chứng minh trên),

BQ = CP (chứng minh trên)

Do đó ∆BQD = ∆CPE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra QD = PE (hai cạnh tương ứng).

• Ta có: QI = QD + DI và PI = PE + EI.

Mà QI = PI và QD = PE (chứng minh trên)

Do đó DI = EI nên điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

Vậy điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

b) Vì I nằm trên đường trung trực của AB nên IA = IB.

Vì I nằm trên đường trung trực của AC nên IA = IC.

Suy ra IA = IB = IC

Nên đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C

Vậy đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C.

c) Vì ∆AQI= ∆API (chứng minh câu a)

Nên $\widehat{QAI}=\widehat{PAI}$ (hai góc tương ứng)

Do đó AI là tia phân giác của góc BAC và $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.120°=60°$

Xét tam giác ABI có IA = IB (chứng minh câu b) nên tam giác ABI cân tại I.

Lại có $\widehat{BAI}=60°$ nên tam giác ABI là tam giác đều.

Do đó IA = IB = AB.

Mà AB = AC, IA = IB = IC nên IA = IB = IC = AB = AC.

Xét ∆BAC và ∆BIC có:

AB = IB (chứng minh trên),

AC = IC (chứng minh trên),

BC là cạnh chung

Do đó ∆BAC = ∆BIC (c.c.c)

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{IBC},\widehat{BAC}=\widehat{BIC}\widehat{,ACB}=\widehat{ICB}$ (các cặp góc tương ứng)

Xét ∆ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Mà $\widehat{BAC}=120°$ (giả thiết) và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do ∆ABCcân tại A).

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$.

Do đó $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}=30°,\widehat{BIC}=120°$

Vậy $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}=30°,\widehat{BIC}=120°$ .

Bài 91 trang 95 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A có đường phân giác AM. Gọi E là điểm nằm giữa B và C. Vẽ BH và CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE).

a) Chứng minh ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.

b) Tính số đo các góc của tam giác MKH.

Lời giải:

a) • Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (do AM là tia phân giác của góc BAC),

AM là cạnh chung

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c)

Suy ra MB = MC (hai cạnh tương ứng).

• Ta có AM là tia phân giác của góc BAC nên:

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.90°=45°$

Lại có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc trong tam giác ABC)

Mà $\widehat{BAC}=90°$ và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do ∆ABC cân tại A)

Nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°$

Xét ∆ABM có $\widehat{MBA}=\widehat{MAB}$ (cùng bằng 45°) nên tam giác ABM cân tại M.

Suy ra MA = MB

Mà MB = MC nên MA = MB = MC.

Do đó M nằm trên đường trung trực của AB và AC (1)

•Trong tam giác ABH vuông tại H có ${\hat{B}}_1+\widehat{BAH}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Nên ${\hat{B}}_1=90°-\widehat{BAH}$

Mà ${\hat{A}}_1=\widehat{BAC}-\widehat{BAH}=90°-\widehat{BAH}$

Suy ra ${\hat{B}}_1={\hat{A}}_1$

Xét ∆BAH và ∆ACK có:

$\widehat{BHA}=\widehat{AKC}\left(=90°\right)$,

${\hat{B}}_1={\hat{A}}_1$ (chứng minh trên),

AB = AC (chứng minh ở câu a),

Do đó ∆ABH = ∆CAK (cạnh huyển – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{BAH}=\widehat{ACK}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $\widehat{BAH}=\widehat{BAM}+\widehat{MAH}=45°+\widehat{MAH}$

$\widehat{ACK}=\widehat{ACM}+\widehat{MCK}=45°+\widehat{MCK}$

Mà $\widehat{BAH}=\widehat{ACK}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{MAH}=\widehat{MCK}$ .

Xét ∆AMH và ∆CMK có:

AH = CK (chứng minh trên),

$\widehat{MAH}=\widehat{MCK}$ (chứng minh trên),

AM = AM (chứng minh ở câu a)

Do đó ∆AMH = ∆CMK (c.g.c)

Suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng)

Hay M nằm trên đường trung trực của HK (2)

Từ (1) và (2) ta có điểm M nằm trên đường trung trực của AB, AC, HK.

Vậy ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.

b) • Ta có $\widehat{AMH}=\widehat{CMK}$ (hai góc tương ứng của ∆AMH = ∆CMK).

Mà $\widehat{HMK}=\widehat{HMC}+\widehat{CMK}$

Do đó $\widehat{HMK}=\widehat{HMC}+\widehat{AMH}=\widehat{AMC}=90°$ nên tam giác MHK vuông tại H.

• Ta có MH = MK nên tam giác MHK cân tại M.

Suy ra $\widehat{MHK}=\widehat{MKH}$ .

•Trong tam giác MHK vuông tại H có $\widehat{MHK}+\widehat{MKH}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Mà $\widehat{MHK}=\widehat{MKH}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{MHK}=\widehat{MKH}=\frac{90°}{2}=45°$

Vậy ∆MKH có $\widehat{MHK}=\widehat{MKH}=45°,\widehat{HMK}=90°$.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác Cánh diều hay khác:

• Giải SBT Toán 7 trang 94 Tập 2