Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H


Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 8 - Cánh diều

Bài 70 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) ∆EBH ᔕ ∆DCH, ∆ADE ᔕ ∆ABC;

b) DB là tia phân giác của góc EDI, với I là giao điểm của AH và BC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a) Do BD, CE là các đường cao nên BD ⊥ AC, CE ⊥ AB.

Xét ∆EBH và ∆DCH có:

BEH^=CDH^=90°; EHB^=DHC^ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆EBH ᔕ ∆DCH (g.g.).

Xét ∆ABD và ∆ACE có:

ADB^=AEC^=90°; A^ là góc chung

Do đó ∆ADE ᔕ ∆ABC (g.g).

Suy ra ADAB=AEAC (tỉ số đồng dạng).

Xét ∆ADE và ∆ABC có:

ADAB=AEAC, A^ là góc chung

Do đó ∆ADE ᔕ ∆ABC (c.g.c).

b) Do ∆ADE ᔕ ∆ABC (câu a) nên ADE^=ABC^ (hai góc tương ứng) (1).

Xét ∆CIA và ∆CDB có:

CIA^=CDB^=90°; C^ là góc chung

Do đó ∆CIA ᔕ ∆CDB (g.g).

Suy ra CICD=CACB (tỉ số đồng dạng) hay CDCB=CICA.

Xét ∆CDI và ∆CBA có:

CDCB=CICA, C^ là góc chung

Do đó ∆CDI ᔕ ∆CBA (c.g.c).

Suy ra CDI^=CBA^ (hai góc tương ứng) (2).

Từ (1) và (2), ta có ADE^=CDI^.

Do đó 90°ADE^=90°CDI^ hay EDB^=BDI^.

Vậy DB là đường phân giác của góc EDI.

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 8 hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác: