Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 8 - Cánh diều

Bài 70 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) ∆EBH ᔕ ∆DCH, ∆ADE ᔕ ∆ABC;

b) DB là tia phân giác của góc EDI, với I là giao điểm của AH và BC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a) Do BD, CE là các đường cao nên BD ⊥ AC, CE ⊥ AB.

Xét ∆EBH và ∆DCH có:

$\hat{B E H} = \hat{C D H} = 90 °;$ $\hat{E H B} = \hat{D H C}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆EBH ᔕ ∆DCH (g.g.).

Xét ∆ABD và ∆ACE có:

$\hat{A D B} = \hat{A E C} = 90 °;$ $\hat{A}$ là góc chung

Do đó ∆ADE ᔕ ∆ABC (g.g).

Suy ra $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ (tỉ số đồng dạng).

Xét ∆ADE và ∆ABC có:

$\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C},$ $\hat{A}$ là góc chung

Do đó ∆ADE ᔕ ∆ABC (c.g.c).

b) Do ∆ADE ᔕ ∆ABC (câu a) nên $\hat{A D E} = \hat{A B C}$ (hai góc tương ứng) (1).

Xét ∆CIA và ∆CDB có:

$\hat{C I A} = \hat{C D B} = 90 °;$ $\hat{C}$ là góc chung

Do đó ∆CIA ᔕ ∆CDB (g.g).

Suy ra $\frac{C I}{C D} = \frac{C A}{C B}$ (tỉ số đồng dạng) hay $\frac{C D}{C B} = \frac{C I}{C A} .$

Xét ∆CDI và ∆CBA có:

$\frac{C D}{C B} = \frac{C I}{C A},$ $\hat{C}$ là góc chung

Do đó ∆CDI ᔕ ∆CBA (c.g.c).

Suy ra $\hat{C D I} = \hat{C B A}$ (hai góc tương ứng) (2).

Từ (1) và (2), ta có $\hat{A D E} = \hat{C D I} .$

Do đó $90 ° - \hat{A D E} = 90 ° - \hat{C D I}$ hay $\hat{E D B} = \hat{B D I}$ .

Vậy DB là đường phân giác của góc EDI.

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 8 hay khác: