a) Dựa vào định nghĩa của sin α và cos α, hãy tính sin^2 α + cos^2 α. b) Sử dụng kết quả của HĐ6a và định nghĩa của tan α, hãy tính 1 + tan^2 α.
Câu hỏi:
a) Dựa vào định nghĩa của sin α và cos α, hãy tính sin2 α + cos2 α.
b) Sử dụng kết quả của HĐ6a và định nghĩa của tan α, hãy tính 1 + tan2 α.
Trả lời:
Lời giải:
a) Theo định nghĩa, ta có: sin α = y, cos α = x.
Do đó, sin2 α + cos2 α = (sin α)2 + (cos α)2 = y2 + x2.
Từ hình vẽ ta thấy x2 + y2 = R2 = 1 (theo định lí Pythagore và đường tròn đơn vị có bán kính R = 1).
Vậy sin2 α + cos2 α = 1.
b) Theo định nghĩa với \(\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
\( \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = {\left( {\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)^2} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
Do đó, \(1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
Vậy \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết:
Câu 1:
Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng 400 km (H.1.1). Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc 45° ở tâm của quỹ đạo tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là 6 400 km. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Xem lời giải »
Câu 2:
Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2.
a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?
b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?
c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?
Xem lời giải »
Câu 3:
Cho góc hình học \(\widehat {uOv}\) = 45°. Xác định số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) trong mỗi trường hợp sau:
Xem lời giải »
Câu 4:
Cho ba tia Ou, Ov, Ow với số đo của các góc hình học uOv và vOw lần lượt là 30° và 45°.
a) Xác định số đo của ba góc lượng giác (Ou, Ov), (Ov, Ow) và (Ou, Ow) được chỉ ra ở Hình 1.5.
b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên k để
sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k360°.
Xem lời giải »
Câu 5:
Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết: cos α = \( - \frac{2}{3}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\).
Xem lời giải »
Câu 6:
Xét hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).
a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đối với hệ trục Oxy. Từ đó rút ra liên hệ giữa: cos (– α) và cos α; sin (– α) và sin α.
b) Từ kết quả HĐ7a, rút ra liên hệ giữa: tan (– α) và tan α; cot (– α) và cot α.
Xem lời giải »
Câu 7:
Tính:
a) sin(– 675°);
b) \(\tan \frac{{15\pi }}{4}\).
Xem lời giải »
Câu 8:
Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức:
B(t) = 80 + 7sin\(\frac{{\pi t}}{{12}}\),
trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimét thủy ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm sau:
a) 6 giờ sáng;
b) 10 giờ 30 phút sáng;
c) 12 giờ trưa;
d) 8 giờ tối.
Xem lời giải »
