Giải Toán 12 trang 29 Tập 2 Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải bài tập Toán 12 trang 29 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 4 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 29.

Giải Toán 12 trang 29 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 10 trang 29 Toán 12 Tập 2: Tốc độ chuyển động v (m/s) của một ca nô trong khoảng thời gian 40 giây được thể hiện như Hình 1. Quãng đường đi được của ca nô trong khoảng thời gian này là

A. 400 m.

B. 350 m.

C. 310 m.

D. 200 m.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị Hình 1, ta có:

$v\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{10}{8}t,0\le t<\mathrm{8,}\\ \mathrm{10,}8\le t<\mathrm{30,}\\ -t+\mathrm{40,}30\le t\le 40.\end{array}\right.$

Quãng đường ca nô đi được là:

$s=\underset{0}{\overset{40}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{8}{\int }}\frac{10}{8}tdt+\underset{8}{\overset{30}{\int }}10dt+\underset{30}{\overset{40}{\int }}\left(-t+40\right)dt$$={\left.\frac{10t^2}{16}\right|}_0^8+{\left.10t\right|}_8^{30}+{\left.\left(-\frac{t^2}{2}+40t\right)\right|}_{30}^{40}$

= 40 + 300 – 80 + 800 – 750 = 310 m.

Bài 11 trang 29 Toán 12 Tập 2: Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x+1}$, trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 2. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng

A. 6π.

B. 2π.

C. 3π.

D. 4π.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Thể tích cần tìm là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x+1\right)dx$$={\left.\pi \left(\frac{x^2}{2}+x\right)\right|}_0^2 = 4\pi$

Bài 12 trang 29 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của đạo hàm y = f'(x) là đường cong trong Hình 2. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng A và B lần lượt là S_A = 2 và S_B = 3. Nếu f(0) = 4 thì f(5) bằng

A. 3.

B. 5.

C. 9.

D. −1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Có $S_A=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx={\left.f\left(x\right)\right|}_0^2=f\left(2\right)-f\left(0\right)=2\Rightarrow f\left(2\right)=2+f\left(0\right)=6$

Mà $S_B=\underset{2}{\overset{5}{\int }}\left|f^{\text{'}}\left(x\right)\right|dx=-\underset{2}{\overset{5}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=-\left[f\left(5\right)-f\left(2\right)\right]=3$ => f(5) = f(2) – 3 = 6 – 3 = 3.

Bài 13 trang 29 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left[4{\left(2-3x\right)}^2-3\cos x\right]dx$;                     b) $\int \left(3x^3-\frac{1}{2x^3}\right)dx$;

c) $\int \left(\frac{2}{{\sin }^{2}x}-\frac{1}{3{\cos }^{2}x}\right)dx$;                         d) $\int \left(3^{2x-2}+4\cos x\right)dx$;

e) $\int \left(4\sqrt[5]{x^4}+\frac{3}{\sqrt{x^3}}\right)dx$;                              g) $\int {\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)}^{2}dx$.

Lời giải:

a) $\int \left[4{\left(2-3x\right)}^2-3\cos x\right]dx$$=4\int {\left(2-3x\right)}^{2}dx-3\int \cos xdx$

$=4\int \left(4-12x+9x^2\right)dx-3\int \cos xdx$$=4\left(4x-6x^2+3x^3\right)-3\sin x+C$

= 16x – 24x² + 12x³ – 3sinx + C.

b) $\int \left(3x^3-\frac{1}{2x^3}\right)dx$$=3\int x^{3}dx-\frac{1}{2}\int x^{-3}dx$$=\frac{3x^4}{4}+\frac{1}{4x^2}+C$

c) $\int \left(\frac{2}{{\sin }^{2}x}-\frac{1}{3{\cos }^{2}x}\right)dx$$=2\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx-\frac{1}{3}\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$$=-2\cot x-\frac{1}{3}\tan x+C$

d) $\int \left(3^{2x-2}+4\cos x\right)dx$$=\frac{1}{9}\int 9^{x}dx+4\int \cos xdx$$=\frac{1}{9}.\frac{9^x}{\ln 9}+4\sin x+C$

e) $\int \left(4\sqrt[5]{x^4}+\frac{3}{\sqrt{x^3}}\right)dx$$=4\int x^{\frac{4}{5}}dx+3\int x^{\frac{-3}{2}}dx$$=\frac{20}{9}{x}^{\frac{9}{5}}-6x^{\frac{-1}{2}}+C$

g) $\int {\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)}^{2}dx$$=\int \left(1-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\right)dx$$=\int \left(1-\sin x\right)dx$

$=\int dx-\int \sin xdx$= x + cosx + C.

Bài 14 trang 29 Toán 12 Tập 2: Tính đạo hàm của $F\left(x\right)=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$. Từ đó suy ra nguyên hàm của $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.

Lời giải:

Có $F^{\text{'}}\left(x\right)={\left[\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}^{\text{'}}}{x+\sqrt{x^2+1}}$$=\frac{1+\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}$$=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}$

$=\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.

Do đó $\int f\left(x\right)=\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C$

Bài 15 trang 29 Toán 12 Tập 2: Cho f(x) = x² lnx và g(x) = xlnx. Tính f'(x) và $\int g\left(x\right)dx$

Lời giải:

Có f'(x) = (x²lnx)' = 2xlnx + x = 2g(x) + x.

Suy ra $g\left(x\right)=\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{2}-\frac{x}{2}$,

Ta có $\int g\left(x\right)dx=\int \left(\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{2}-\frac{x}{2}\right)dx$$=\frac{1}{2}\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx-\frac{1}{2}\int xdx$$=\frac{1}{2}.f\left(x\right)-\frac{x^2}{4}+C$

$=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$

Bài 16 trang 29 Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(4x^3+x\right)dx$;                                      b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x-2}{x^2}dx$;

c) $\underset{0}{\overset{4}{\int }}{2}^{2x}dx$;                                                d) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(e^{x-1}+2^{x+1}\right)dx$

Lời giải:

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(4x^3+x\right)dx$$=4\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{3}dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx$$={\left.\left(x^4+\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^1=\frac{3}{2}$

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x-2}{x^2}dx$$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x}dx-2\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x^2}dx$$={\left.\left(\ln \left|x\right|+\frac{2}{x}\right)\right|}_1^2$= ln2 + 1 – 2 = ln2 – 1.

c) $\underset{0}{\overset{4}{\int }}{2}^{2x}dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}{4}^{x}dx$$={\left.\left(\frac{4^x}{\ln 4}\right)\right|}_0^4=\frac{256}{\ln 4}-\frac{1}{\ln 4}=\frac{255}{\ln 4}$

d) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(e^{x-1}+2^{x+1}\right)dx=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle e}}\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{x}dx+2\underset{1}{\overset{2}{\int }}{2}^{x}dx$$={\left.\left(\frac{1}{e}.e^x+2.\frac{2^x}{\ln 2}\right)\right|}_1^2=e+\frac{4}{\ln 2}-1$

Bài 17 trang 29 Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$;                                           b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(1+\tan x\right)\cos xdx$.

Lời giải:

a) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx={\left.-\cot x\right|}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}=-1+\sqrt{3}$

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(1+\tan x\right)\cos xdx$$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\cos x+\sin x\right)dx$$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\cos xdx+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\sin xdx$

$={\left.\left(\sin x-\cos x\right)\right|}_0^{\frac{\pi }{4}}$= 1

Bài 18 trang 29 Toán 12 Tập 2: Một vật chuyển động với tốc độ v(t) = 3t + 4 (m/s), với thời gian t tính theo giây, t ∈ [0; 5]. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 5.

Lời giải:

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 5 là:

$s=\underset{0}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left(3t+4\right)dt={\left.\left(3\frac{t^2}{2}+4t\right)\right|}_0^5=\mathrm{57,5}$m

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 4 hay khác:

• Giải Toán 12 trang 28
• Giải Toán 12 trang 30