Bài 5.50 trang 63 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 2 m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài 4 m; 4,4 m; 4,8 m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Giải Toán 12 Bài tập cuối chương 5 - Kết nối tri thức

Bài 5.50 trang 63 Toán 12 Tập 2: Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 2 m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài 4 m; 4,4 m; 4,8 m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Lời giải:

Gọi 3 điểm ở trên mặt nước lần lượt là A, B, C và ba điểm tương ứng ở đáy bể là A', B', C' sao cho AA' = 4 m, BB' = 4,4 m, CC' = 4,8 m.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, O là trung điểm của AC.

Ta có A(0; 1; 0), $B\left(\sqrt{3};0;0\right)$, C(0; −1; 0),A'(0;1;4), $B^{\text{'}}\left(\sqrt{3};0;\mathrm{4,4}\right)$, C'(0; −1; 4,8).

Ta có $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\left(\sqrt{3};-1;\mathrm{0,4}\right)$, $\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\left(0;-2;\mathrm{0,8}\right)$

Có $\left[\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-1& \mathrm{0,4}\\ -2& \mathrm{0,8}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \sqrt{3}\\ \mathrm{0,8}& 0\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}\sqrt{3}& -1\\ 0& -2\end{array}\right|\right)$$=\left(0;-\mathrm{0,8}\sqrt{3};-2\sqrt{3}\right)$

Mặt phẳng đáy bể là mặt phẳng (A'B'C') có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(0;-\mathrm{0,8}\sqrt{3};-2\sqrt{3}\right)$

Mặt phẳng nằm ngang (mặt nước) chính là mặt phẳng Oxy: z = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$

Do đó $\cos \left(\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right),\left(Oxy\right)\right)=\frac{\left|0.0-\mathrm{0,8}\sqrt{3}.0-2\sqrt{3}.1\right|}{\sqrt{0^2+{\left(-\mathrm{0,8}\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-2\sqrt{3}\right)}^2}.\sqrt{1}}$$=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{87}}{5}}=\frac{5\sqrt{29}}{29}$

Suy ra ((A'B'C'), (Oxy)) ≈ 21,8°.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 5 hay, chi tiết khác:

• Bài 5.31 trang 61 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y – 3z + 1 = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là ....

• Bài 5.32 trang 61 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; −1; 2) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến là ....

• Bài 5.33 trang 61 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-2}$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là ....

• Bài 5.34 trang 61 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=3-t\end{array}\right.$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là ....

• Bài 5.35 trang 61 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua I(2; −1; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;2;-3\right)$ làm vectơ chỉ phương là ....

• Bài 5.36 trang 61 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−1; 0; −1), B(2; 1; 1). Phương trình đường thẳng AB là ....

• Bài 5.37 trang 61 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua I(2; 1; −3) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – 2y + z – 3 = 0 là ....

• Bài 5.38 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)² + y² + (z – 3)² = 4. Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là ....

• Bài 5.39 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y + 2z – 3 = 0. Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là ....

• Bài 5.40 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; −1), B(0; 1; 2), C(−1; −2; 3) ....

• Bài 5.41 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-2+t\\ z=4-2t\end{array}\right.$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O ....

• Bài 5.42 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai điểm A(1; −1; 2), B(−1; 1; 0) ....

• Bài 5.43 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) và hai đường thẳng $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$, $d^{\text{'}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{-1}$ ....

• Bài 5.44 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 3 = 0 và đường thẳng d: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ ....

• Bài 5.45 trang 63 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$ và d': $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}$ ....

• Bài 5.46 trang 63 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y – z – 1 = 0, (Q): 2x + y – z – 2 = 0 và điểm A(−1; 2; 0) ....

• Bài 5.47 trang 63 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: $\frac{x+2}{1}=\frac{y+3}{2}+\frac{z-3}{-2}$ và d': $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-2+t\\ z=2t\end{array}\right.$ ....

• Bài 5.48 trang 63 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi đường thẳng d: $\frac{x+3}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{1}$ và mặt phẳng (P): x + y – 2z + 3 = 0 ....

• Bài 5.49 trang 63 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 và mặt phẳng Oxy ....

• Bài 5.51 trang 63 Toán 12 Tập 2: Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ Oxyz. Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng Oxy ....

• Bài 5.52 trang 63 Toán 12 Tập 2: Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (H.5.45a) ....