Giải Toán 12 trang 74 Tập 1 Kết nối tri thức

---

Với Giải Toán 12 trang 74 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 2 Toán 12 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 74.

Giải Toán 12 trang 74 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 2.34 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(-2;2;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;-1;-2\right)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ bằng

A. $\frac{-2\sqrt{2}}{3}$.              B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.                C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$.                  D. $\frac{-\sqrt{2}}{3}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Có $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{\left(-2\right).1+2.\left(-1\right)+2.\left(-2\right)}{\sqrt{4+4+4}.\sqrt{1+1+4}}=\frac{-2\sqrt{2}}{3}$.

Bài 2.35 trang 74 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$.

Lời giải:

Vì ABCD là hình chữ nhật nên

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$$\iff \overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}$$\iff \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$.

Bài 2.36 trang 74 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}$và $\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}$ . Hãy biểu diễn $\overrightarrow{MN}$  theo $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ .

Lời giải:

Có $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}$;

$\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}$$\iff 2\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}$

Có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$$\Rightarrow 2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{DN}$ (1)

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}$(2)

Cộng từng vế (1) và (2), ta được $3\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CN}+2\overrightarrow{DN}$

$\iff 3\overrightarrow{MN}=\left(\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}\right)+\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AD}+\left(\overrightarrow{CN}+2\overrightarrow{DN}\right)$

$\iff 3\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AD}$

$\iff \overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

Bài 2.37 trang 74 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi G là trọng tâm của tam giác BDA'.

a) Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ .

b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C' thẳng hàng.

Lời giải:

a) Vì G là trọng tâm của tam giác BDA' nên

$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{G{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$ (1)

$\iff \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$

$\iff 3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\right)$.

b) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên theo quy tắc hình hộp ta có:

 $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$(2).

Từ (1) và (2), ta có $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ .

Vậy ba điểm A, G và C' thẳng hàng.

Bài 2.38 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; −1; 3), B(1; 1; −1) và C(−1; 0; 2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Lời giải:

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

$\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{2+1-1}{3}\\ y=\frac{-1+1+0}{3}\\ z=\frac{3-1+2}{3}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{2}{3}\\ y=0\\ z=\frac{4}{3}\end{array}\right.$.

Vậy $G\left(\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}\right)$.

b) Vì M thuộc Oz nên M(0; 0; z).

Khi đó $\overrightarrow{BM}=\left(-1;-1;z+1\right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left(-3;1;-1\right)$.

Vì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên $\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0$

$\iff \left(-1\right).\left(-3\right)+\left(-1\right).1+\left(z+1\right).\left(-1\right)=0$

$\iff z=1$

Vậy M(0; 0; 1).

Bài 2.39 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O'A'B'C' và các điểm A(2; 3; 1), C(−1; 2; 3) và O'(1; −2; 2). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải:

Ta có O(0; 0; 0)

Gọi B(x_B; y_B; z_B).

Ta có $\overrightarrow{OA}=\left(2;3;1\right);\overrightarrow{OC}=\left(-1;2;3\right);\overrightarrow{OB}=\left(x_B;y_B;z_B\right)$

Vì OABC là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_B=2-1\\ y_B=3+2\\ z_B=1+3\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_B=1\\ y_B=5\\ z_B=4\end{array}\right.$

Vậy B(1; 5; 4).

Có $\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}=\left(1;-2;2\right); \overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\left(x_{C^{\text{'}}}+1;y_{C^{\text{'}}}-2;z_{C^{\text{'}}}-3\right)$;$\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=\left(x_{B^{\text{'}}}-1;y_{B^{\text{'}}}-5;z_{B^{\text{'}}}-4\right)$; $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\left(x_{A^{\text{'}}}-2;y_{A^{\text{'}}}-3;z_{A^{\text{'}}}-1\right)$

Vì OABC.O'A'B'C' là hình hộp nên:

+) $\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}=\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{C^{\text{'}}}+1=1\\ y_{C^{\text{'}}}-2=-2\\ z_{C^{\text{'}}}-3=2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{C^{\text{'}}}=0\\ y_{C^{\text{'}}}=0\\ z_{C^{\text{'}}}=5\end{array}\right.$

Vậy C'(0; 0; 5).

+) $\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{A^{\text{'}}}-2=1\\ y_{A^{\text{'}}}-3=-2\\ z_{A^{\text{'}}}-1=2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{A^{\text{'}}}=3\\ y_{A^{\text{'}}}=1\\ z_{A^{\text{'}}}=3\end{array}\right.$

Vậy A'(3; 1; 3).

+) $\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{B^{\text{'}}}-1=1\\ y_{B^{\text{'}}}-5=-2\\ z_{B^{\text{'}}}-4=2\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{B^{\text{'}}}=2\\ y_{B^{\text{'}}}=3\\ z_{B^{\text{'}}}=6\end{array}\right.$

Vậy B'(2; 3; 6).

Bài 2.40 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-2;1;2\right)$,$\overrightarrow{b}=\left(1;1;-1\right)$

a) Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$.

b) Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{u}$.

c) Tính $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ .

Lời giải:

a) Có $2\overrightarrow{b}=\left(2;2;-2\right)$.

Khi đó $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=\left(-2-2;1-2;2+2\right)=\left(-4;-1;4\right)$.

b) $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{16+1+16}=\sqrt{33}$ .

c) $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{\left(-2\right).1+1.1+2.\left(-1\right)}{\sqrt{4+1+4}.\sqrt{1+1+1}}=\frac{-\sqrt{3}}{3}$ .

Bài 2.41 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(4; 2; −1), B(1; −1; 2) và C(0; −2; 3).

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và tính độ dài đoạn thẳng AB.

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$ .

c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1-4;-1-2;2+1\right)=\left(-3;-3;3\right)$.

Có $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-3\right)}^2+3^2}=3\sqrt{3}$.

b) Giả sử M(x; y; z).

Khi đó $\overrightarrow{CM}=\left(x;y+2;z-3\right)$

Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$  nên $\left\{\begin{array}{l}-3+x=0\\ -3+y+2=0\\ 3+z-3=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\\ z=0\end{array}\right.$.

Vậy M(3; 1; 0).

c) Giả sử N(x; y; 0).

Khi đó $\overrightarrow{AN}=\left(x-4;y-2;1\right);\overrightarrow{BN}=\left(x-1;y+1;-2\right)$.

Để A, B, N thẳng hàng thì $\overrightarrow{AN}$  và $\overrightarrow{BN}$ cùng phương tức là $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{BN}$ .

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}\left(x-4\right)=k\left(x-1\right)\\ y-2=k\left(y+1\right)\\ 1=k\left(-2\right)\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}\left(x-4\right)=-\frac{1}{2}\left(x-1\right)\\ y-2=-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\\ k=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\\ k=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$.

Vậy N(3; 1; 0).

Bài 2.42 trang 74 Toán 12 Tập 1: Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà là 0,5 m, cách hai tường lần lượt là 1,2 m và 1,6 m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4 m, cách hai tường đều là 1,5 m.

a) Lập một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp và xác định tọa độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.

b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Tọa độ bóng đèn lúc đầu là A (1,2; 1,6; 0,5).

Tọa độ bóng đèn lúc sau là B (1,5; 1,5; 0,4).

b) Có $\overrightarrow{AB}=\left(\mathrm{0,3};-\mathrm{0,1};-\mathrm{0,1}\right)$ .

Khi đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\mathrm{0,3}}^2+{\left(-\mathrm{0,1}\right)}^2+{\left(-\mathrm{0,1}\right)}^2}\approx \mathrm{0,3}$.

Vậy vị trí mới cách vị trí ban đầu của bóng đèn là 0,3 m.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 2 hay khác:

• Giải Toán 12 trang 73