Giải Toán 11 trang 21 Tập 1 Kết nối tri thức


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với Giải Toán 11 trang 21 Tập 1 trong Bài 2: Công thức lượng giác Toán lớp 11 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 21.

Giải Toán 11 trang 21 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 1.7 trang 21 Toán 11 Tập 1: Sử dụng 15° = 45° – 30°, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 15°.

Lời giải:

Ta có:

+) sin 15° = sin(45° – 30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°

= 22.3222.12=624.

+) cos 15° = cos(45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°

= 22.32+22.12=6+24.

+) tan 15° = tan(45° – 30°) = tan45°tan30°1+tan45°.tan30° = 1331+1.33=23.

+) cot 15° = 1tan15°=123=2+3.

Bài 1.8 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính:

a) cosa+π6, biết sina=13 và π2<a<π;

b) tanaπ4, biết cosa=13 và π<a<3π2.

Lời giải:

a) Vì π2<a<π nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin2 a + cos2 a = 1 suy ra

cos a = 1sin2a=1132=63.

Ta có: cosa+π6=cosacosπ6sinasinπ6

=63.3213.12=6123=3+326.

b) Vì π<a<3π2 nên sin a < 0, do đó tana=sinacosa>0.

Mặt khác từ 1+tan2a=1cos2a

Suy ra tana=1cos2a1=11321=22.

Ta có: tanaπ4=tanatanπ41+tanatanπ4=2211+22.1=9427.

Bài 1.9 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a, biết:

a) sina=13 và π2<a<π;

b) sin a + cos a = 12 và π2<a<3π4.

Lời giải:

a) Vì π2<a<π nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin2 a + cos2 a = 1 suy ra

cos a = 1sin2a=1132=223.

Ta có: sin 2a = 2sin a cos a = 2.13.223=429.

cos2a=12sin2a=12.132=79.

tan2a=sin2acos2a=42979=427.  

b) Ta có: (sin a + cos a)2122sin2a+cos2a+2sinacosa=14

1+sin2a=14sin2a=34.

Vì π2<a<3π4 nên π<2a<3π2, do đó cos 2a < 0. Mặt khác từ sin2 (2a) + cos2 (2a) = 1

Suy ra cos2a=1sin22a=1342=74.

Do đó, tan2a=sin2acos2a=3474=37=377.

Bài 1.10 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A=sinπ15cosπ10+sinπ10cosπ15cos2π15cosπ5sin2π15sinπ5;

b) B=sinπ32cosπ32cosπ16cosπ8.

Lời giải:

a) Ta có:

A=sinπ15cosπ10+sinπ10cosπ15cos2π15cosπ5sin2π15sinπ5=sinπ15cosπ10+cosπ15sinπ10cos2π15cosπ5sin2π15sinπ5

=sinπ15+π10cos2π15+π5=sinπ6cosπ3=1212=1.

b) Ta có:

B=sinπ32cosπ32cosπ16cosπ8=12.2sinπ32cosπ32cosπ16cosπ8

=12sin2.π32cosπ16cosπ8=12sinπ16cosπ16cosπ8

=14.2sinπ16cosπ16cosπ8=14sinπ8cosπ8=18.2sinπ8cosπ8

=18sinπ4=18.22=216.

Bài 1.11 trang 21 Toán 11 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau:

sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a.

Lời giải:

Ta có: sin(a + b) sin(a – b) = 12[cos(a + b – a + b) – cos(a + b + a – b)]

= 12[cos 2b – cos 2a] = 12[(2cos2 b – 1) – (2cos2 a – 1)] = cos2 b – cos2 a.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = cos2 b – cos2 a (1).

Lại có, cos 2b – cos 2a = (1 – 2sin2 b) – (1 – 2sin2 a) = 2(sin2 a – sin2 b)

Do đó, 12[cos 2b – cos 2a] = 12. 2(sin2 a – sin2 b) = sin2 a – sin2 b.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b (2).

Từ (1) và (2), suy ra sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a (đpcm).

Bài 1.12 trang 21 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC có B^=75°; C^=45° và a = BC = 12 cm.

a) Sử dụng công thức S=12absinC và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức

S=a2sinBsinC2sinA.

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Định lí sin trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c là: asinA=bsinB=csinC

Từ đó suy ra b=asinBsinA.

Diện tích tam giác ABC là S=12absinC=12a.asinBsinA.sinC=a2sinBsinC2sinA.

Vậy S=a2sinBsinC2sinA (đpcm).

b) Ta có: A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác ABC).

A^=180°B^+C^=180°75°+45°=60°.

Ta có: S=a2sinBsinC2sinA=122sin75°sin45°2sin60°

=144.12cos75°45°cos75°+45°2.32

=72cos30°cos120°3=7232123=36+123.

Vậy diện tích của tam giác ABC là S=36+123 (đvdt).

Bài 1.13 trang 21 Toán 11 Tập 1: Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [–π; π] là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

x1t=2cosπ3t+π6  (cm),

x2t=2cosπ3tπ3  (cm).

Tìm dao động tổng hợp x(t) = x1(t) + x2(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Lời giải:

Dao động tổng hợp x(t) = x1(t) + x2(t)

Suy ra x(t) = 2cosπ3t+π6+2cosπ3tπ3 (cm).

Ta có: 2cosπ3t+π6+2cosπ3tπ3

=2cosπ3t+π6+cosπ3tπ3

=2.2cosπ3t+π6+π3tπ32cosπ3t+π6π3tπ32

=4cosπ6tπ12cosπ4=4cosπ6tπ12.22=22cosπ6tπ12.

Vậy dạo động tổng hợp có phương trình là xt=22cosπ6tπ12 với biên độ A=22 và pha ban đầu là φ=π12.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác Kết nối tri thức hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: