Bài 2.20 trang 38 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 2.20 trang 38 Chuyên đề Toán 10 trong Bài tập cuối chuyên đề 2. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 2.20 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Đặt $S_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\dots +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$.

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tổng S_n và chứng minh nó bằng quy nạp.

Lời giải:

a) $S_1=\frac{1}{1.3}=\frac{1}{3},S_2=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}=\frac{2}{5},S_3=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}=\frac{3}{7}.$

b) Từ a) ta có thể dự đoán $S_n=\frac{n}{2n+1}.$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có $S_1=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}.$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: $S_k=\frac{k}{2k+1}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

$S_{k+1}=\frac{k+1}{2\left(k+1\right)+1}.$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

$S_{k+1}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\dots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$

$=S_k+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$

$=\frac{k\left(2k+3\right)+1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$

$=\frac{2k^2+3k+1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$

$=\frac{\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}=\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2\left(k+1\right)+1}.$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.