Bài 2.26 trang 38 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 2.26 trang 38 Chuyên đề Toán 10 trong Bài tập cuối chuyên đề 2. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 2.26 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng $C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\dots +C_{2n}^{2n-1}.$

Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thoả mãn $C_{2n}^1+C_{2n}^3+\dots +C_{2n}^{2n-1}=2048.$

Lời giải:

Xét:

$M=C_{2n}^0+C_{2n}^1+C_{2n}^2+\dots +C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}$;

$N=C_{2n}^0-C_{2n}^1+C_{2n}^2-\dots -C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}$;

$P={\text{C}}_{2n}^0+{\text{C}}_{2n}^2+{\text{C}}_{2n}^4+\dots +{\text{C}}_{2n}^{2n-2}+{\text{C}}_{2n}^{2n}$;

$Q=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\dots +C_{2n}^{2n-3}+C_{2n}^{2n-1}.$

+) Ta có:

${(x+1)}^{2n}=C_{2n}^0{x}^{2n}+C_{2n}^1{x}^{2n-1}1+C_{2n}^2{x}^{2n-2}{1}^2+\dots +C_{2n}^{2n-1}x{1}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}{1}^{2n}$

$=C_{2n}^0{x}^{2n}+C_{2n}^1{x}^{2n-1}+C_{2n}^2{x}^{2n-2}+\dots +C_{2n}^{2n-1}x+C_{2n}^{2n}.$

Cho x = 1, ta được:

${(1+1)}^{2n}={\text{C}}_{2n}^0{1}^{2n}+{\text{C}}_{2n}^1{1}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^2{1}^{2n-2}+\dots +{\text{C}}_{2n}^{2n-1}1+{\text{C}}_{2n}^{2n}$

$={\text{C}}_{2n}^0+{\text{C}}_{2n}^1+{\text{C}}_{2n}^2+\dots +{\text{C}}_{2n}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}.$

Vậy M = (1 + 1)²ⁿ = 2²ⁿ .

+) Ta có:

${(x-1)}^{2n}={\text{C}}_{2n}^0{x}^{2n}-{\text{C}}_{2n}^1{x}^{2n-1}1+{\text{C}}_{2n}^2{x}^{2n-2}{1}^2-\dots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}x{1}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}{1}^{2n}$

$={\text{C}}_{2n}^0{x}^{2n}-{\text{C}}_{2n}^1{x}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^2{x}^{2n-2}-\dots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}x+{\text{C}}_{2n}^{2n}.$

Cho x = 1, ta được:

${(1-1)}^{2n}={\text{C}}_{2n}^0{1}^{2n}-{\text{C}}_{2n}^1{1}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^2{1}^{2n-2}-\dots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}1+{\text{C}}_{2n}^{2n}$

$={\text{C}}_{2n}^0-{\text{C}}_{2n}^1+{\text{C}}_{2n}^2-\dots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}.$

Vậy N = (1 - 1)²ⁿ = 0.

Ta có: P + Q = M = 2²ⁿ và P - Q = N = 0 nên P = Q = 2²ⁿ : 2 = 2^2n-1.

Áp dụng:

$C_{2n}^1+C_{2n}^3+\dots +C_{2n}^{2n-1}=2048$

$\Rightarrow 2^{2n-1}=2048\Rightarrow 2n-1=11\Rightarrow n=6.$