Bài 1.31 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Giải Chuyên đề Toán 11 Bài tập cuối chuyên đề 1 - Kết nối tri thức

Bài 1.31 trang 33 Chuyên đề Toán 11: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d. Hai điểm E, F thay đổi trên d sao cho $\vec{E F}$ không đổi. Xác định vị trí của hai điểm E, F để AE + BF nhỏ nhất.

Lời giải:

Ta có: $|\vec{E F}| = m$ (m > 0) không đổi.

Đặt $\vec{u} = \vec{E F} (\vec{u} \neq \vec{0})$ , $\vec{u}$ không đổi, khi đó $|\vec{u}| = m$ không đổi.

Gọi G là ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{-u}$ . Khi đó $\vec{B G} = - \vec{u}$ . Vì B cố định và $\vec{u}$ không đổi nên G cố định. Gọi G' là ảnh của G qua phép đối xứng trục d thì G' cố định.

Gọi giao điểm của AG' và đường thẳng d là E, trên d lấy điểm F thỏa mãn EF = m và $\vec{E F} = \vec{u} = - \vec{B G}$ hay $\vec{E F} = \vec{G B}$ . Khi đó BGEF là hình bình hành nên BF = GE.

Mà G và G' đối xứng nhau qua d nên GE = G'E. Do đó BF = GE = G'E.

Ta có: AE + BF = AE + G'E = AG' (1).

Ta có E và F như trên là hai điểm cần tìm để AE + BF nhỏ nhất.

Thật vậy, gọi E' và F' là 2 điểm trên d, khác E và F sao cho $\vec{E' F'} = \vec{u}$ và $|\vec{E' F'}| = |\vec{u}| = m$ .

Ta có: AE' + BF' = AE' + GE' = AE' + G'E' > AG' (2) (bất đẳng thức trong tam giác AG'E').

Từ (1) và (2) suy ra AE + BF < AE' + BF'. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 11 Bài tập cuối chuyên đề 1 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯