Chứng minh rằng: x4 - √(x5 ) + x - √x + 1 > 0, mọi x ≥ 0

Bài 1: Bất đẳng thức

Bài 5 trang 79 Toán 10: Chứng minh rằng: x⁴ - √(x⁵ ) + x - √x + 1 > 0, mọi x ≥ 0.

Hướng dẫn. Đặt √x = t, xét hai trường hợp 0 ≤ x < 1; x ≥ 1

Trả lời

Đặt t = √x (t ≥ 0) ⇔ x ≥ 0

Khi đó x⁴ - √(x^5 ) + x - √x + 1 = t⁸ – t⁵ + t² – t + 1

Xét hai trường hợp: 0 ≤ x < 1 và x ≥ 1

* Trường hợp 1: x ≥ 1 ⇔ t ≥ 1

Ta có t⁸ ≥ t⁵ => t⁸ – t⁵ > 0

t² ≥ t => t² – t ≥ 0

Vậy t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 > 0 (đpcm)

* Trường hợp 2: 0 ≤ x < 1 ⇔ 0 ≤ t < 1

Ta có: t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 = t⁵(t3 – 1) + (t² – t + 1) = t⁵(t – 1)(t² + t + 1) + (t² – t + 1) (1)

Vì t ≥ 0 nên t² + t + 1 ≥ t² –t + 1 (2)

Từ (1) và (2) ta có:

t⁵(t – 1)(t² + t + 1) + (t² – t + 1) ≥ t⁵(t – 1)(t² - t + 1) + (t² – t + 1)

⇔ t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 ≥ (t² – t + 1)[t⁵(t – 1) + 1]

⇔ t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 ≥ (t² – t + 1)(t6 – t⁵ + 1)

⇔ t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 ≥ 0

Vậy x4 - √(x^5 ) + x - √x + 1 > 0, mọi x ≥ 0. (đpcm)