Chứng minh rằng: x4 - √(x5 ) + x - √x + 1 > 0, mọi x ≥ 0
Bài 1: Bất đẳng thức
Bài 5 trang 79 Toán 10: Chứng minh rằng: x4 - √(x5 ) + x - √x + 1 > 0, mọi x ≥ 0.
Hướng dẫn. Đặt √x = t, xét hai trường hợp 0 ≤ x < 1; x ≥ 1
Trả lời
Đặt t = √x (t ≥ 0) ⇔ x ≥ 0
Khi đó x4 - √(x^5 ) + x - √x + 1 = t8 – t5 + t2 – t + 1
Xét hai trường hợp: 0 ≤ x < 1 và x ≥ 1
* Trường hợp 1: x ≥ 1 ⇔ t ≥ 1
Ta có t8 ≥ t5 => t8 – t5 > 0
t2 ≥ t => t2 – t ≥ 0
Vậy t8 – t5 + t2 – t + 1 > 0 (đpcm)
* Trường hợp 2: 0 ≤ x < 1 ⇔ 0 ≤ t < 1
Ta có: t8 – t5 + t2 – t + 1 = t5(t3 – 1) + (t2 – t + 1) = t5(t – 1)(t2 + t + 1) + (t2 – t + 1) (1)
Vì t ≥ 0 nên t2 + t + 1 ≥ t2 –t + 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
t5(t – 1)(t2 + t + 1) + (t2 – t + 1) ≥ t5(t – 1)(t2 - t + 1) + (t2 – t + 1)
⇔ t8 – t5 + t2 – t + 1 ≥ (t2 – t + 1)[t5(t – 1) + 1]
⇔ t8 – t5 + t2 – t + 1 ≥ (t2 – t + 1)(t6 – t5 + 1)
⇔ t8 – t5 + t2 – t + 1 ≥ 0
Vậy x4 - √(x^5 ) + x - √x + 1 > 0, mọi x ≥ 0. (đpcm)