Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ diện đều

Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài 1.13 trang 18 Sách bài tập Hình học 12: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ diện đều đến các mặt phẳng của nó là một số không đổi.

Lời giải:

Ta có tứ diện đều ABCD, M là một điểm trong của nó. Gọi V là thể tích, S là diện tích mỗi mặt của tứ diện đều ABCD, h_A, h_B, h_C, h_D lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC).

Khi đó ta có:

V = V_MBCD + V_MCDA + V_MDAB + V_MABCV

= S(h_A + h_B + h_C + h_D)/3

Từ đó suy ra h_A + h_B + h_C + h_D = 3V/S