Tìm cực trị của các hàm số sau: y = sin2x; y = cosx − sinx; y = sin^2x

Bài 2: Cực trị của hàm số

Giải bài 20 trang 16 SBT Giải tích 12 Bài 2: Cực trị của hàm số giúp học sinh biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12.

Bài 1.20 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = sin2x

b) y = cosx − sinx

c) y = sin²x

Lời giải:

a) y = sin2x

Hàm số có chu kỳ T = π

Xét hàm số y=sin2x trên đoạn [0;π], ta có:

y' = 2cos2x

y' = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Do đó trên đoạn [0;π] , hàm số đạt cực đại tại π/4 , đạt cực tiểu tại 3π/4 và y_CD = y(π/4) = 1; y_CT = y(3π/4) = −1

Vậy trên R ta có:

y_CĐ = y(π/4 + kπ) = 1;

y_CT = y(3π/4 + kπ) = −1, k∈Z

b) Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn [−π;π].

y′ = − sinx – cosx

y′ = 0 ⇔ tanx = −1 ⇔ x = −π4 + kπ, k∈Z

Lập bảng biến thiên trên đoạn [−π;π]

Hàm số đạt cực đại tại x = −π4 + k2π , đạt cực tiểu tại x = 3π4 + k2π (k∈Z) và

y_CĐ = y(−π4 + k2π) = √2;

y_CT = y(3π4 + k2π) = −√2 (k∈Z).

c) Ta có:

Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ π.

Ta xét hàm số y trên đoạn [0;π]:

y′ = sin2x

y′ = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = kπ/2 (k∈Z)

Lập bảng biến thiên trên đoạn [0,π]

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = kπ/2 với k chẵn, đạt cực đại tại x = kπ/2 với k lẻ, và

y_CT = y(2mπ) = 0; y_CT = y(2mπ) = 0;

y_CĐ = y((2m+1)π/2) = 1 (m∈Z)