Cho hai đường thẳng Δ và Δ′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung

Đề toán tổng hợp chương 2

Bài 2.28 trang 62 Sách bài tập Hình học 12: Cho hai đường thẳng Δ và Δ′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc Δ và A’ thuộc Δ′ . Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với Δ′ và d là hình chiếu vuông góc của Δ trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa Δ và d là α. Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt Δ và Δ′ lần lượt tại M và M’. Gọi M₁ là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).

a) Chứng minh 5 điểm A, A’, M, M’, M₁ cùng nằm trên mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, α và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

b) Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu (S) di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Lời giải:

a) Vì mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với Δ′ nên AA’ thuộc (P). Vì M thuộc Δ mà d là hình chiếu vuông góc của Δ trên (P) nên M₁ thuộc d. Vì MA ⊥ AA′ ⇒ M₁A ⊥ AA′

Mặt khác M₁A ⊥ M′A′ nên ta suy ra M₁A ⊥ (AA′M′). Do đó M₁A ⊥ M′A và điểm A thuộc mặt cầu đường kính M’M₁.

Ta có M′A′ ⊥ (P) nên M′A′ ⊥ A′M₁, ta suy ra điểm A’ cũng thuộc mặt cầu đường kính M’M₁

Ta có (Q) // (P) nên ta suy ra

MM₁ ⊥ (Q) mà MM’ thuộc (Q), do đó M₁M ⊥ MM′

Như vậy 5 điểm A, A’, M, M’, M₁ cùng thuộc mặt cầu (S) có đường kính M’M₁. Tâm O của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn M’M₁.

Ta có M′M₁² = M′A′² + A′M₁² = M′A′² + A′A² + AM₁² = x² + a² + x²cot²α vì MM₁ = x

Bán kính r của mặt cầu (S) bằng (M′M₁)/2 nên

b) Hình tứ giác A’M’MM₁ là hình chữ nhật nên tâm O cũng là trung điểm của A’M. Do đó khi x thay đổi thì mặt phẳng (Q) thay đổi và điểm O luôn luôn thuộc đường thẳng d’ đi qua trung điểm I của đoạn AA’ và song song với đường thẳng Δ. Vì mặt cầu tâm O luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, A’nên nó có tâm O di động trên đường thẳng d’. Do đó mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn tâm I cố định có đường kính AA’ cố định và nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với đường thẳng d’.