Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A

Đề toán tổng hợp chương 2

Bài 2.29 trang 63 Sách bài tập Hình học 12: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC.

a) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

b) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 300.

Lời giải:

a) Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Vì tam giác ABC vuông cân tại C nên ta có IA = IB = IC. Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC phải nằm trên đường thẳng d’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Ta suy ra d’ // d. Do đó d’ cắt SB tại trung điểm O của đoạn SB. Ta có OB = OS = OA = OC và như vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện SABC.

b) Trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30^o thì góc của hai mặt phẳng đó chính là góc ∠SCA. Thực vậy vì SA ⊥ (ABC) mà AC⊥CB nên ta có SC ⊥ CB. Do đó ∠SCA = 30^o.

Vì AB = 2a nên ta có AC = a√2 ta suy ra

Gọi r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện khi ∠SCA = 30^o.

Ta có r = SB/2 = OA = OB = OC = OS, trong đó SB² = SA² + AB²

Vậy

Do đó

Ta suy ra