Cho đường tròn tâm O bán kính r’. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy

Đề toán tổng hợp chương 2

Bài 2.30 trang 63 Sách bài tập Hình học 12: Cho đường tròn tâm O bán kính r’. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, S và A cố định, SA = h cho trước và có đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

a) Tính bán kính r của mặt cầu đi qua năm đỉnh của hình chóp

b) Hỏi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất?

Lời giải:

a) Trong mặt phẳng chứa đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác ABCD ta kẻ đường kính qua O vuông góc với dây cung AC tại I. Ta có IA = IC và OI // BD. Gọi O’ là tâm mặt cầu đi qua 5 đỉnh của hình chóp. Khi đó điểm O’ phải nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Ta có d ⊥ (ABCD) tại O. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Ta có MI // SA nên MI ⊥ (ABCD) tại I. Từ M kẻ đường thẳng d’ // OI cắt d tại O’. Vì d′ ⊥ (SAC) tại M nên ta có O’C = O’S và O’C là bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có:

Vì SA không đổi nên ta có V_SABCD lớn nhất khi và chỉ khi S_ABCD lớn nhất. Ta có S_ABCD = AC.BD/2 trong đó AC và BD là hai dây cung vuông góc với nhau. Vậy AC.BD lớn nhất khi và chỉ khi AC = BD = 2r’, nghĩa là tứ giác ABCD là một hình vuông.