Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh

Câu hỏi và bài tập chương 3

Bài 3.62 trang 134 Sách bài tập Hình học 12: Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB₁, CD. A₁D₁. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và C₁N.

Lời giải:

Ta chọn hệ trục tọa độ như sau: B₁ là gốc tọa độ, B₁A₁→ = i→, B₁C₁→ = j→, B₁B→ = k→. Trong hệ trục vừa chọn, ta có B1(0; 0; 0), B(0; 0; 1), A1(1; 0; 0), D1(1; 1; 0), C(0; 1; 1), D(1; 1; 1), C1(0; 1; 0).

Suy ra M(0; 0; 1/2), P(1; 1/2; 0), N(1/2; 1; 1)

Ta có MP→ = (1; 1/2; −1/2); C₁N→ = (1/2; 0; 1)

Gọi (α) là mặt phẳng chứa C₁N và song song với MP. (α) có vecto pháp tuyến là n→ = (1/2; −5/4; −14) hay n'→ = (2; −5; −1)

Phương trình của (α) là 2x – 5(y – 1) – z = 0 hay 2x – 5y – z + 5 = 0

Ta có:

d(MP, C₁N) = d(M,(α))

Ta có:

Vậy ∠(MP,C₁N) = 90^o.