Bài 48, 49, 50 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2

---

Bài 48, 49, 50 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2

Bài 48 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình trùng phương

a. x⁴ -8x² – 9 =0 b. y⁴ – 1,16y² + 0,16 =0

c. z⁴ -7z² - 144 =0 d. 36t⁴ – 13t² +1 =0

e. 1/3x⁴ - 1/2x² + 1/6 = 0 f.√3x⁴ – (2 -√3 )x² -2 =0

Lời giải:

a.Đặt m = x² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: x⁴ -8x² – 9 =0 ⇔m² -8m -9 =0

Phương trình m² - 8m - 9 = 0 có hệ số a = 1,b = -8,c = -9 nên có dạng a – b + c = 0

suy ra: m₁ = -1 (loại) , m₂ = -9/1 =9

Ta có: x² =9 ⇒ x=± 3

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x₁ =3 ;x₂ =-3

b. Đặt m = y² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: y⁴ – 1,16y² + 0,16 =0 ⇔m² -1,16m + 0,16 =0

Phương trình m² -1,16m + 0,16 = 0 có hệ số a = 1, b = -1,16, c = 0,16 nên có dạng a + b + c = 0

suy ra: m₁ = 1 , m₂ = 0,16

Ta có: y² =1 ⇒ y = ± 1

y² =0,16 ⇒ y = ± 0,4

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm : y₁ =1 ;y₂ =-1 ; y₃ =0,4 ;y₄ =-0,4

c. Đặt m =z² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: z⁴ -7z² - 144 =0 ⇔m² -7m -144 =0

Ta có: Δ=(-7)² -4.1.(-144) =49 + 576=625 > 0

√Δ =√625 = 25

Ta có: z² =16 ⇒ z=± 4

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : z₁ =4 ;z₂ =-4

d. Đặt m = t² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: 36t⁴ – 13t² +1 =0 ⇔ 36m² -13m +1 =0

Ta có: Δ=(-13)² – 4.36.1=169 -144=25 > 0

√Δ =√25 = 5

Ta có: t² =1/4 ⇒ t=± 1/2

t² =1/9 ⇒ t=± 1/3

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm :

t₁ = 1/4 ; t₂ =-1/4 ; t₃ =1/3 ; t₄ =-1/3

e. Đặt m =x² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: 1/3.(x⁴) - 1/2.( x²) +16 =0⇔ 2x⁴ -3x² +1=0 ⇔ 2m² -3m + 1 =0

Phương trình 2m² -3m + 1 =0 có hệ số a=2,b=-3,c=1 nên có dạng a +b+c =0

suy ra: m₁ = 1 , m₂ = 12

Ta có: x² = 1 ⇒ x = ± 1

x² = 1/2 ⇒ x = ± √2/2

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm :

x₁ =1 ; x₂ =-1 ; x₃ =( √2)/2; x₄ = - √2/2

f. Đặt m =x² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: √3 x⁴ – (2 -√3 )x² -2 =0 ⇔ √3m² - (2 -√3 )m - 2 =0

Phương trình √3m² - (2 -√3 )m - 2 =0 có hệ số a=√3 ,b= -(2 -√3 ),c=-2 nên có dạng a - b+c =0

Bài 49 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Chứng minh rằng khi a và c trái dấu thì phương trình trùng phương ax⁴+bx²+c =0 chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau

Lời giải:

Đặt m =x² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: ax⁴ + bx² + c = 0 ⇔ am² + bm + c = 0

Vì a và c trái dấu nên a/c < 0. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là m₁ và m₂

Theo hệ thức Vi-ét,ta có: m₁m₂ = c/a

Vì a và c trái dấu nên c/a <0 suy ra m₁m₂ < 0 hay m₁ và m₂ trái dấu nhau

Vì m₁ và m₂ trái dấu nhau nên có 1 nghiệm bị loại ,giả sử loại m₁

Khi đó x² =m₂ => x = ± √m₂

Vậy phương trình trùng phương ax⁴+bx²+c =0 chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau khi a và c trái dấu

Bài 50 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ

a.(4x -5)² – 6(4x -5) +8 =0

b.(x² +3x -1)² +2(x² +3x -1) -8 =0

c. (2x² +x -2)² +10x² +5x -16 =0

d.(x² -3x +4)(x² -3x +2) =3

Lời giải:

a) Đặt m =4x -5

Ta có: (4x -5)²– 6(4x -5) +8 =0 ⇔ m² -6m +8 =0

Δ’ = (-3)² -1.8 =9 -8=1 > 0

Δ' =1 =1

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 =9/4 ,x² =7/4

b) Đặt m = x² +3x -1

Ta có: (x² +3x -1)² +2(x² +3x -1) -8 =0 ⇔ m² +2m -8 =0

Δ’ = 1² -1.(-8) =1 +8 =9 > 0

√Δ' =√9 =3

m₁ = -1 +31 =2 ; m₂ = -1 -31 =-4

Với m = 2 thì : x² +3x - 1 = 2 ⇔ x² + 3x - 3 = 0

Δ’ = 3² -4.1.(-3 )=9 +12=21 > 0

√Δ =√21

Với m = -4 ta có: x² +3x -1 = -4 ⇔ x² +3x +3 = 0

Δ = 3² -4.1.3=9 -12 = -3 < 0

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :

c) Đặt m = 2x² +x -2

Ta có: (2x² +x -2)²+10x² +5x -16 =0

⇔ (2x² +x -2)²+5(2x² +x -2) -6 =0

⇔ m² +5m -6 =0

Phương trình m² +5m -6 = 0 có hệ số a = 1, b = 5, c = -6 nên có dạng

a + b + c = 0

Suy ra : m₁ =1 ,m₂ =-6

m₁ =1 ta có: 2x² +x -2 =1 ⇔ 2x² +x -3=0

Phương trình 2x² +x -3 = 0 có hệ số a = 2, b = 1 , c = -3 nên có dạng

a +b+c=0

Suy ra: x1 =1 ,x² =-3/2

Với m=-6 ta có: 2x² +x -2 = -6 ⇔ 2x² +x +4 =0

Δ = 1² -4.2.4 = 1 -32 = -31 < 0 . Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x₁ =1 ,x² =-32

d) Đặt m= x² -3x +2

Ta có: (x² -3x +4)(x² -3x +2) =3

⇔ [(x² -3x +2 +2)(x² -3x +2) -3 =0

⇔ (x² -3x +2)² +2(x² -3x +2) -3 =0

⇔ m² +2m -3 =0

Phương trình m² +2m -3 = 0 có hệ số a = 1, b = 2 , c = -3 nên có dạng

a +b+c=0

suy ra : m₁ =1 ,m₂ =-3

Với m₁ =1 ta có: x² -3x +2 =1 ⇔ x² -3x +1=0

Δ = (-3)² -4.1.1 = 9 -4 =5 > 0

√Δ = √5

Với m₂ =-3 ta có: x² -3x +2 =-3 ⇔ x² -3x +5=0

Δ = (-3)² -4.1.5 = 9 -20 =-11 < 0.Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :

e. Đặt m= x/(x+1) .Điều kiện : x ≠ -1

⇔ 2m² -5m +3 =0

Phương trình 2m² -5m +3 = 0 có hệ số a = 2, b = -5 , c = 3 nên có dạng

a +b + c = 0

suy ra : m₁ = 1 ,m₂ =3/2

Với m₁ =1 ta có: x/(x+1) =1 ⇔ x =x+1 ⇔ 0x =1 (vô nghiệm)

Với m = 3/2 ta có: x/(x+1) = 3/2 ⇔ 2x =3(x +1)

⇔ 2x =3x +3 ⇔ x =-3

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x=-3

f. Đặt m = √(x -1) .Điều kiện : x ≥ 0

Ta có : x - √(x -1)-3 =0 ⇔ (x -1) -√(x -1) -2 =0

⇔ m² -m - 2 =0

Phương trình m² -m - 2 = 0 có hệ số a = 1, b = -1 , c = -2 nên có dạng

a – b + c = 0

Suy ra : m₁ = -1 (loại) , m₂ = -(-2)/1 = 2

Với m =2 ta có:√(x -1) =2 ⇒ x -1 =4 ⇔ x =5

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x=5