Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x^2 +5x +4/x + 2

Bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 51 trang 49 sgk Giải Tích 12 nâng cao được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp bạn biết cách làm bài tập môn Toán 12.

Bài 51 (trang 49 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của nó.

c) Tùy giá trị của m hay biện luận số nghiệm của phương trình

Lời giải:

a) TXĐ: D = R \{-2}

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -3) và (-1; +∞)

Hàm số nghịch biến trên (-3; -2)và (-2; -1)

y_CĐ=y(-3)=-7

y_CT=y(-1)=1

Vậy đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng.

Vậy đường thẳng y = 2x + 1 là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên.

Đồ thị giao với Oy là A(0; 2)

Đi qua B(-1;1)

b) Giao điểm của 2 đường tiệm cận I(-2; -3)

Áp dụng công thức trục tọa độ

Khi đó hàm số đã cho có phương trình

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị có tâm đối xứng là điểm I.

C) Xét phương trình (*)

Suy ra, số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

và đường thẳng y= - m.

Dựa vào đồ thị hàm số ta suy ra:

+ -m > 1 ⇔ m < -1, đường thẳng y =-m cắt đồ thị tại 2 điểm ⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+ -7 < -m < 1 ⇔ -1 < m < 7, đường thẳng y=-m không cắt đồ thị ⇒ Phương trình vô nghiệm.

+ -m < -7 hay m > 7, đường thẳng y = -m cắt đồ thị tại 2 điểm ⇒ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+ Nếu thì đường thẳng y= - m cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm.

Kết luận:

m=-1,m=7 phương trình có 1 nghiệm.

-1<m<7 phương trình vô nghiệm.