Xác định parabol y = ax^2 – bx + 1 trong mỗi trường hợp sau

Xác định parabol y = ax^2 – bx + 1 trong mỗi trường hợp sau:

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài 13 trang 47 SBT Toán 10 Tập 1: Xác định parabol y = ax^2 – bx + 1 trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua hai điểm M(1; – 2) và N(– 2; 19).

b) Có đỉnh I(– 2; 37).

c) Có trục đối xứng là x = – 1 và tung độ của đỉnh bằng 5.

Lời giải:

Xét parabol y = ax² – bx + 1 với a ≠ 0:

a) Thay tọa độ điểm M1; – 2) vào parabol y = ax² – bx + 1, ta được:

– 2 = a.1² – b.1 + 1 ⇔ a – b = – 3 (1).

Thay tọa độ điểm N(– 2; 19) vào parabol y = ax² – bx + 1, ta được:

 19 = a.(– 2)² – b.(– 2) + 1 ⇔ 4a + 2b = 18 hay 2a + b = 9 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}a - b = -3\\ 2a + b = 9\end{array} \iff \left\{\begin{array}{l}3a = 6\\ 2a + b = 9\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a = 2\\ 2.2 + b = 9\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}a = 2\\ b = 5\end{array}\right.\right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy parabol cần tìm là y = 2x² – 5x + 1.

b) Parabol có đỉnh I(– 2; 37) nghĩa là $\frac{b}{2a}=-2$ ⇔ b = – 4a (3)

Mặt khác ta thay tọa độ điểm I vào parabol y = ax² – bx + 1, ta được:

37 = a.(– 2)² – b.(– 2) + 1 ⇔ 4a + 2b = 36 hay 2a + b = 18 (4).

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}b = -4a\\ 2a + b = 18\end{array} \iff \left\{\begin{array}{l}b = -4a\\ 2a - 4a = 18\end{array} \iff \left\{\begin{array}{l}b = -4a\\ -2a = 18\end{array} \iff \left\{\begin{array}{l}b = 36\\ a = -9\end{array}\right.\right.\right.\right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy parabol cần tìm là: y = – 9x² – 36x + 1.

c) Parabol có trục đối xứng là x = – 1 ⇔$\frac{b}{2a}=-1$ ⇔ b = – 2a (5)

Thay x = – 1 và y = 5 vào parabol y = ax² – bx + 1, ta được:

5 = a.(– 1)² – b.(– 1) + 1 ⇔ a + b = 4 (6).

Từ (5) và (6) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}b = 2a \\ a + b =4\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}b = -2a\\ a - 2a = 4\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}b = -2a\\ -a = 4\end{array}\right.\right.\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b = 8\\ a = -4\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy parabol cần tìm là: y = – 4x² – 8x + 1.