Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trang 46 SBT Toán 10 Tập 1

Giải SBT Toán 10 Bài 1: Hàm số và đồ thị

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 4 trang 46 SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 1: Hàm số và đồ thị. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp các bạn dễ dàng nắm được cách làm bài tập Sách bài tập Toán 10.

Bài 4 trang 46 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{1}{-x-5}$ ;

b) f(x) = |3x – 1|.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ {– 5}.

+ Xét khoảng (– ∞; – 5):

Lấy hai số x₁, x₂ tùy ý thuộc (– ∞; – 5) sao cho x₁ < x₂.

Ta có:

Vì x₁, x₂ ∈ (– ∞; – 5) nên x₁ + 5 < 0 và x₂ + 5 < 0.

Lại có: x₁ < x₂ nên x₁ – x₂ < 0.

Do đó, f(x₁) – f(x₂) $=\frac{x_1-x_2}{\left(x_1+5\right)\left(x_2+5\right)}$ < 0 hay f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; – 5). (1)

+ Xét khoảng (– 5; + ∞):

Lấy hai số x₃, x₄ tùy ý thuộc (– 5; + ∞) sao cho x₃ < x₄.

Ta có:

Vì x₃, x₄ ∈ (– 5; + ∞) nên x₃ + 5 > 0 và x₄ + 5 > 0.

Lại có: x₃ < x₄ nên x₃ – x₄ < 0.

Do đó, f(x₃) – f(x₄) $=\frac{x_3-x_4}{\left(x_3+5\right)\left(x_4+5\right)}$ < 0 hay f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– 5; + ∞). (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (– ∞; – 5) và (– 5; + ∞).

b) Với 3x – 1 ≥ 0 hay x ≥ $\frac{1}{3}$, ta có: |3x – 1| = 3x – 1.

Với 3x – 1 < 0 hay x < $\frac{1}{3}$, ta có: |3x – 1| = – (3x – 1) = – 3x + 1.

Khi đó ta có:

$f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}3x-1khix\ge \frac{1}{3}\\ -3x+1khix<\frac{1}{3}\end{array}\right)$

Ta xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) = 3x – 1 trên khoảng $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$ và của hàm số h(x) = – 3x + 1 trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ .

+ Lấy hai số x₁, x₂ tùy ý thuộc khoảng $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$ sao cho x₁ < x­₂:

Ta có: f(x₁) – f(x₂) = (3x₁ – 1) – (3x₂ – 1) = 3(x₁ – x₂) < 0 (do x₁ < x₂ nên x₁ – x₂ < 0).

Suy ra f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số g(x) đồng biến trên $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$ hay f(x) đồng biến trên $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$ . (1)

+ Lấy hai số x₃, x₄ tùy ý thuộc khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ sao cho x₃ < x₄:

Ta có: f(x₃) – f(x₄) = (– 3x₃ + 1) – (– 3x₄ + 1) = 3(x₄ – x₃) > 0 (do x₃ < x₄ nên x₄ – x₃ > 0).

Suy ra f(x₃) > f(x₄).

Vậy hàm số h(x) nghịch biến trên $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ hay f(x) nghịch biến khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$ .