Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 4x - 3y
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 4x - 3y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình
Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 2.8 trang 23 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 4x - 3y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình
Lời giải:
Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:
• Vẽ đường thẳng d1: x + y = -4 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; -4) và (-4; 0).
Chọn điểm I(1; 1) ∉ d1 và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 > -4.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≥ -4 là nửa mặt phẳng bờ d1 chứa điểm I(1; 1).
• Vẽ đường thẳng d2: x + y = 5 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 5) và (5; 0).
Chọn điểm I(1; 1) ∉ d2 và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 5.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 là nửa mặt phẳng bờ d2 chứa điểm I(1; 1).
• Vẽ đường thẳng d3: x - y = 5 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; -5) và (5; 0).
Chọn điểm I(1; 1) ∉ d3 và thay vào biểu thức x + y ta được 1 - 1 = 0 < 5.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x - y ≤ 5 là nửa mặt phẳng bờ d3 chứa điểm I(1; 1).
• Vẽ đường thẳng d4: x - y = -4 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 4) và (-4; 0).
Chọn điểm I(1; 1) ∉ d4 và thay vào biểu thức x - y ta được 1 - 1 = 0 > -4.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x - y ≥ -4 là nửa mặt phẳng bờ d4 chứa điểm I(1; 1).
Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là hình vuông ABCD với A(5; 0), B(0,5; -4,5), C(-4; 0) và D(0,5; 4,5).
F(5; 0) = 4 . 5 - 3 . 0 = 20;
F(0,5; -4,5) = 4 . 0,5 - 3. (-4,5) = 15,5;
F(-4; 0) = 4 . (-4) - 3 . 0 = -16;
F(0,5; 4,5) = 4 . 0,5 - 3 . 4,5 = -11,5.
Vậy giá trị lớn nhất của F(x; y) = 20 khi x = 5 và y = 0 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = -16 khi x = -4 và y = 0.
