Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau bằng định nghĩa: f(x) = x + 2

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau bằng định nghĩa:

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 6 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau bằng định nghĩa:

a) f(x) = x + 2;

b) g(x) = 4x² – 1;

c) $h (x) = \frac{1}{x - 1} .$

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = x + 2.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x + 2) – (x + 2) = ∆x.

Suy ra $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ x}{Δ x} = 1$

Ta thấy $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} 1 = 1$

Vậy f'(x) = 1.

b) Hàm số y = g(x) = 4x² – 1.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: ∆y = g(x + ∆x) – g(x) = 4(x + ∆x)² – 1 – (4x² – 1)

= 4x² + 8x. ∆x + (∆x)² – 1 – 4x² + 1

= 8x.∆x + (∆x)².

Suy ra $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{8 x \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2}}{Δ x} = 8 x + Δ x .$

Ta thấy $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (8 x + Δ x) = 8 x .$

Vậy g'(x) = 8x.

c) Hàm số $y = h (x) = \frac{1}{x - 1} .$

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: $Δ y = h (x + Δ x) - h (x) = \frac{1}{x + Δ x - 1} - \frac{1}{x - 1}$

$= \frac{x - 1 - (x + Δ x - 1)}{(x + Δ x - 1) (x - 1)} = \frac{- Δ x}{(x + Δ x - 1) (x - 1)}$

Suy ra $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{\frac{- Δ x}{(x + Δ x - 1) (x - 1)}}{Δ x} = \frac{- 1}{(x + Δ x - 1) (x - 1)} .$

Ta thấy $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- 1}{(x + Δ x - 1) (x - 1)} = \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} .$

Vậy $h^{'} (x) = \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} .$

Lời giải SBT Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm hay khác: