Chứng minh hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x0 = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2

Chứng minh hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 7 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Chứng minh hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2....

Lời giải:

Hàm số y = f(x) = |x – 2|.

• Với x > 2, ta có: f(x) = |x – 2| = x – 2.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x > 2.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x – 2) – (x – 2) = ∆x.

Suy ra: $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ x}{Δ x} = 1.$

Ta thấy: $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δy}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} 1 = 1.$

Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x > 2 là 1.

• Với x < 2, ta có: f(x) = |x – 2| = 2 – x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (2 – x – ∆x) – (2 – x) = –∆x.

Suy ra: $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{- Δ x}{Δ x} = - 1.$

Ta thấy: $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δy}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (- 1) = - 1.$

Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x < 2 là –1.

• Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 2.

Ta có: ∆y = f(2 + ∆x) – f(2) = |2 + ∆x – 2| – |2 – 2| = ∆x.

Suy ra: $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{|Δ x|}{Δ x}$ .

Ta thấy: $\lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{|Δ x|}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{Δ x}{Δ x} = 1.$

$lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{|Δ x|}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{- Δ x}{Δ x} = - 1.$

Do đó, không tồn tại $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ f}{Δ x}$ nên hàm số không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2.

Vậy hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm hay khác: