Ta định nghĩa các hàm sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau

Ta định nghĩa các hàm sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau:

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit - Kết nối tri thức

Bài 6.26 trang 14 SBT Toán 11 Tập 2: Ta định nghĩa các hàm sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau:

$sinhx = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x}); \cosh x = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ .

Chứng minh rằng:

a) sinh x là hàm số lẻ;

b) cosh x là hàm số chẵn;

c) (cosh x)² – (sinh x)² = 1 với mọi x.

Lời giải:

a) Hàm số $f (x) = sinhx = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ có tập xác định D = ℝ.

Ta có: ∀ x ∈ D ⇒ – x ∈ D.

Và $f (- x) = \frac{1}{2} (e^{- x} - e^{x}) = - \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x}) = - f (x)$ , ∀ x ∈ ℝ.

Do đó, sinh x là hàm số lẻ.

b) Hàm số $g (x) = \cosh x = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ có tập xác định D = ℝ.

Ta có: ∀ x ∈ D ⇒ – x ∈ D.

Và $g (- x) = \frac{1}{2} (e^{- x} + e^{x}) = g (x)$ , ∀ x ∈ ℝ.

Do đó, cosh x là hàm số chẵn.

c) Ta có: (cosh x)² – (sinh x)² $= \frac{1}{4} {(e^{x} + e^{- x})}^{2} - \frac{1}{4} {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

$= \frac{1}{4} (e^{2 x} + 2 e^{x} \cdot e^{- x} + e^{- 2 x}) - \frac{1}{4} (e^{2 x} - 2 e^{x} \cdot e^{- x} + e^{- 2 x})$

$= \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} = 1$ .

Do đó, (cosh x)² – (sinh x)² = 1 với mọi x.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit Kết nối tri thức hay khác: