Tính đạo hàm của hàm số y = ax^2 (a là hằng số)

Tính đạo hàm của hàm số:

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Kết nối tri thức

Bài 9.4 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số:

a) y = ax² (a là hằng số) tại điểm x₀ bất kì.

b) $y=\frac{1}{x-1}$ tại điểm x₀ bất kì, x₀ ≠ 1.

Lời giải:

a) Đặt y = f(x) = ax².

Ta có y'(x₀) = $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{a{x}^2-a{x}_0^2}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{a\left(x^2-x_0^2\right)}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{a\left(x-x_0\right)\left(x+x_0\right)}{x-x_0}$

Vậy y'(x₀) = 2ax₀.

b) Đặt y = f(x) = $\frac{1}{x-1}$.

Ta có y'(x₀) = $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x_0-1}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\frac{x_0-1-\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x_0-1\right)}}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\frac{\left(x_0-x\right)}{\left(x-1\right)\left(x_0-1\right)}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{-1}{\left(x-1\right)\left(x_0-1\right)}$$=\frac{-1}{{\left(x_0-1\right)}^2}$.

Vậy $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\frac{-1}{{\left(x_0-1\right)}^2}$ , x₀ ≠ 1.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm hay khác:

• Bài 9.1 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số y = 2x² + 3x – 1 tại điểm x₀ = 1 ....

• Bài 9.2 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x(2x – 1)². Tính f'(0) và f'(1) ....

• Bài 9.3 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = . Tính f'(0) ....

• Bài 9.5 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị hàm số y = x³ + 1, biết hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M bằng 3 ....

• Bài 9.6 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −3x², biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng có phương trình y = 6x + 5 ....

• Bài 9.7 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình s = t³ – 4t² + 4t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét ....