Cho tam giác ABC có góc A = 90 độ, M là trung điểm của BC. Chứng minh BC = 2AM

Cho tam giác ABC có , M là trung điểm của BC. Chứng minh BC = 2AM.

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc

Bài 42 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 90 °$ , M là trung điểm của BC. Chứng minh BC = 2AM.

Lời giải:

Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB, d cắt AM tại N.

Suy ra $\hat{A B C} = \hat{B C N}$ (hai góc so le trong).

Ta có BA ⊥ AC, d // AB.

Suy ra d ⊥ AC hay $\hat{N C A} = 90 °$ .

Xét ∆MBA và ∆MCN có:

BM = CM (vì M là trung điểm của BC),

${\hat{M}}_{1} = {\hat{M}}_{2}$ (hai góc đối đỉnh),

$\hat{A B C} = \hat{N C B}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆MBA = ∆MCN (g.c.g).

Suy ra AB = CN và AM = NM (các cặp cạnh tương ứng).

Xét ∆BAC và ∆NCA có:

AC là cạnh chung,

$\hat{B A C} = \hat{N C A}$ (cùng bằng 90^o),

AB = NC (chứng minh trên)

Do đó ∆BAC = ∆NCA (c.g.c)

Suy ra BC = NA (hai cạnh tương ứng).

Mà AM = MN, AN = AM + MN = 2AM.

Nên BC = AN = 2AM.

Vậy 2AM = BC.