Giả sử đường trung trực d của cạnh BC của tam giác ABC cắt cạnh AC tại một điểm D nằm giữa A và C

Giải SBT Toán 7 Kết nối tri thức Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Bài 9.22 trang 58 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

a) Giả sử đường trung trực d của cạnh BC của tam giác ABC cắt cạnh AC tại một điểm D nằm giữa A và C. Chứng minh AC > AB.

b) Hỏi đảo lại có đúng không tức là nếu tam giác ABC có AC > AB thì đường trung trực d của cạnh BC có cắt AC tại điểm nằm giữa A và C không?

c) Vẫn giả sử đường trung trực d của cạnh BC của tam giác ABC cắt cạnh AC tại một điểm D nằm giữa A và C. Với M là một điểm tùy ý thuộc d, M khác D, hãy chứng minh MA + MB > DA + DB.

Lời giải:

a) Nếu đường trung trực d của cạnh BC cắt cạnh AC tại điểm D nằm giữa A và C thì ta có DB = DC (do D nằm trên đường trung trực của canh BC thì sẽ cách đều hai đầu mút).

Từ đó ta có: AC = AD + DC = AD + DB (1)

Trong tam giác ABD, theo bất đẳng thức tam giác, ta có: AD + DB > AB (2)

Vậy từ (1) và (2) ta suy ra được: AC > AB (đpcm).

b) Điều đảo lại cũng hoàn toàn đúng. Thật vậy,

Đường trung trưc của BC không thể đi qua A vì nếu thế thì AB = AC (trái với giải thiết)

Vậy nên đường trung trực d phải cắt đoạn thẳng AB tại điểm nằm giữa A và B.

Để đường trung trực d phải cắt đoạn thẳng AB tại điểm nằm giữa A và B thì chứng minh tương tự câu a) ta dễ dàng suy ra được AB > AC (trái với giả thiết)

Và đường trung trực d phải cắt đoạn thẳng AC tại điểm nằm giữa A và C

Để đường trung trực d phải cắt đoạn thẳng AC tại điểm nằm giữa A và C thì chứng minh tương tự câu a) ta dễ dàng suy ra được AC > AB (đúng với giả thiết)

Vậy suy ra đường trung trực d của cạnh BC cắt AC tại điểm nằm giữa A và C nếu AC > AB.

c) M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên ta có MB = MC

Suy ra MA + MB = MA + MC (3)

Mà áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác MAC ta có MA + MC > AC

Hay MA + MC > AD + DC (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra được MA + MB > DA + DC (đpcm).